9.1 引言
前面讨论过参数
θ的点估计,那里的推断是猜测一个单个值作为
θ的值,这一章我们讨论区间估计及更一般的集合估计。
集合估计问题中的推断就是陈述
θ∈C,其中
C⊂Θ并且
C=C(X)是一个由观测数据
X=x的值决定的集合。
定义9.1.1 一个实值参数
θ的区间估计是样本的任意一堆函数
L(x1,⋯,xn)和
U(x1,⋯,xn),对于所有的
x∈X满足
L(x)⩽U(x). 如果观测到样本
X=x,就做出推断
L(x)⩽θ⩽U(x). 随机区间
[L(x),U(x)]叫做区间估计量。
使用区间估计而不使用点估计,目的在于对于捕获感兴趣的参数有某种保证。这个保证的确定是用以下定义量化的。
定义9.1.4 对于一个对参数
θ的区间估计量
[L(x),U(x)],
[L(x),U(x)]的覆盖概率是指随机区间
[L(x),U(x)]覆盖真实参数
θ的概率。在符号上记作
Pθ (θ∈[L(x),U(x)]).
定义9.1.5 对于一个参数
θ的区间估计量
[L(x),U(x)],
[L(x),U(x)]的置信系数是指覆盖概率的下确界
infθ Pθ (θ∈[L(x),U(x)])
因为我们不知道
θ的真实值,所以我们只能保证一个覆盖概率的下确界,即置信系数。在某些情况这并不紧要,因为覆盖概率是
θ的一个常数函数。而某些情况,覆盖概率可能随
θ不同而有很大变化。