什么是最短路径？

1、在非网图中，两顶点之间经过顶点最少的路径，就是最短路径。
2、在网图中，两点之间经过的权值之和最小的路经。

最短路径问题的解决方法

Dijkstra方法（单源点到其他顶点的最短路径）

Floyed方法 （任意两点之间的最短路径）

1.Dijkstra方法

算法思想：
1.设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，初始值为单源点（起始点）。
2.以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。
3.重复操作，直到V全部顶点加入到S中。

数据结构设计：
1、图的存储结构：邻接矩阵存储结构
2、数组dist[n]：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长 度。初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。
3、数组path[n]：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。
4、数组s[n]：存放源点和已经找到最短路径的终点，其初态为只有一个源点v。

伪代码
1、S←{v0} ， dist[i]= g.arc[v0][vi] , path[i]=“v0vi ” 或 “ ”；
将v0到其余顶点的路径长度初始化为权值；
2、选择vk，使得dist［vk］=min(dist［i］ | vi∈V-S)
vk为目前求得的下一条从v0出发的最短路径的终点。
将vk加入到S中。
3、修改从v0出发到集合V-S上任一顶点vi的最短路径的长度。
如果
dist[k]+ g.arck][i]<dist[i]
则将dist[i]修改为
dist[k]+ g.arc[k][i]
path[i]=path[k]+”vi”
4、重复(2)、(3) n-1次，即可按最短路径长度的递增顺序，逐个求出v0到图中其它每个顶点的最短路径。

const int MAX=1000;
void  Dijkstra(MGraph g, int v){
       for ( i =0; i<g.vexnum ; i++){
	 dist[i]=g.arcs[v][i];  
               if ( dist[i]!= MAX) 
                      path [i]=g.vertex[v]+g.vertex[i];
               else
                      path[i]=“”;
       }
       S[0]=g.vertex[v]; 
       num=1;  
       While (num<g.vextexNum){
    k=0;
    for(i=0;i<G.vertexNum;i++)
           if((dist[i]<dist[k])   k=i
    cout<<dist[k]<<path[k];
    s[num++]=G.vertex[k];                
    for(i=0;i<G.vertexNum;i++)
             if(dist[k]+g.arc[k][i]<dist[i] {
		 dist[i]=dist[k]+g.arc[k][i];
                       path[i]=path[k]+g.vertex[i];
               }
}
}

2.Floyed方法

算法思想：
设图g用邻接矩阵法表示，
求图g中任意一对顶点vi、 vj间的最短路径。

（-1） 将vi到vj 的最短的路径长度初始化为(vi,vj)， 然后进行如下n次比较和修正：
（0） 在vi、vj间加入顶点v0，
比较（vi, v0, vj）和(vi, vj)的路径的长度，取其中较短的路径作为vi到vj的且中间顶点号不大于0的最短路径。

（1）在vi、vj间加入顶点v1：
得（vi, …，v1）和(v1, …，vj)，其中：
（vi, …, v1）是vi到v1 的且中间顶点号不大于0的最短路径，
(v1, …, vj) 是v1到vj 的且中间顶点号不大于0的最短路径，
这两条路径在上一步中已求出。
将（vi, …, v1, …, vj）与上一步已求出的且vi到vj 中间顶点号不大于0的最短路径比较，取其中较短的路径作为vi到vj 的且中间顶点号不大于1的最短路径。

重复操作n次…

数据结构设计：
图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构
数组dist[n][n]：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。
数组path[n][n]： 存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]=“vivj”。

void Floyd(MGraph G)
{
    for (i=0; i<G.vertexNum; i++)        
       for (j=0; j<G.vertexNum; j++)
       {
          dist[i][j]=G.arc[i][j];
          if (dist[i][j]!=∞) 
               path[i][j]=G.vertex[i]+G.vertex[j];
          else path[i][j]=""; 
       }
            for (k=0; k<G.vertexNum; k++)         
        for (i=0; i<G.vertexNum; i++)       
           for (j=0; j<G.vertexNum; j++)
               if (dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]) {
                    dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
                    path[i][j]=path[i][k]+path[k][j];
              }
}