1 引言

  指数追踪，利用某些金融资产组合去追踪某一股票指数，指数型基金核心技术。  目前主要有两种指数复制方法 基于两种假设 一：历史能够重演，在过去一段时间能构造历史追踪误差最小的，未来也将是最优，现在大多数指数复制类型为此类。二：从统计角度，找到与目标指数具有最大相关 具有协整关系的股票组合，保证未来表现与未来尽可能一致。

  从股票数量复制角度，分为两种，完全复制和不完全复制，完全复制按照指数构造方式购买成分证券，但市场时序上变化迅速，造成成本高，逐渐不被使用。不完全复制根据优化方法寻找成分证券及其投资权重。

2模型

 先引入模型变量

：

    模型的构建：

至此，我们就可以得到了如下的一个回归问题 

w（it）表示第i支股票t时刻的权重，如果将其处理为与时间有关的，则此线性回归问题将变得非常复杂，难以处理，为对此优化，我们采用固定比率策略，即w（it）=w（i）。这样有两个好处，一，从策略角度，为一个追涨杀跌策略，保证组合的流动性。二，模型简化为一个二次规划问题，能够很容易的求解。

  至此，将指数追踪转为了一个多元线性回归问题。

传统线性回归方法为最小二乘回归，将损失函数选择为均方误差：

                                                                                                                （*）

（*）式表示了学习过程的经验风险，传统理论认为，经验风险最小，即模型未来预测能力越强，但现在考虑过拟合情况，使用传统机器学习中的svm，其具有较好泛化能力，采用结构风险最小策略，即参数量越少越好，同时参数越接近0越好，重新定义我们的损失函数：

其中ε为松弛变量，是一个接近于0但大于0的数，它的大小控制了svm中支持向量的个数，为一个超参数，需要人手工设计。

现在我们的目标函数即为：

最小化第一项，代表最小化结构风险，同时能代表svm中的间隔最大化，即有最好的预测能力；最小化第二项表示最小化经验损失，其中 λ为不同时期的经验损失的权重，金融中，越接近现在的，认为其含有较多未来信息，需要对现在的经验损失提高权重，为此我们采用基于指数加权方式来计算 λ 

其中α同样为一个超参数，需要人为设计，再次，我们设定为1。

至此我们的目标函数已经建立起来，接下来，就是对约束条件的讨论：

自然有的两个边界为资本预算以及投资比例：  

从管理方面需要考虑股票的数目，数目越大，管理成本和难度越大，同样选取一个超参数k，其代表投资组合内最大股票种类

同时限制 z 为0 1变量，为0即不进入组合，为1即进入组合。

以上讨论了约束条件和目标函数，最终我们得到了我们的指数复制模型：

3 实验验证

从鲁棒性和样本外追踪效果来看，优于Ruiz-Torrubiano模型

4 思考与探索

一，借助于svm中松弛变量以及支持向量的思想，进一步提高了模型泛化性能；

二，时间加权，更加准确

想法：

1 svm中更为强大的是核技巧，怎么将核函数应用于其中，去更好的提高泛化能力

2 模型中有几个需要人为去指定和设计的超参数，依赖于人的经验，如何去智能调参，可能参考现在深度学习的重要方向 元学习 对其的经验损失中的超参数 怎么类比到深度学习中的正则化项

3指数复制中一个重要问题为基金按模型执行策略时，自身参加到了市场中，自己也对市场产生了影响，如同得到了解析解，但实际计算数值解时，发现其数据有噪声，导致数值解不稳定，最终成为了一个不适当问题，如何将这种行为考虑进入模型中，可以参考一下我之前讲解的GNN的思想，通过寻找稳定解去解决一部分问题

4不同时期，市场有着不同风格，可以认为数据不是同种分布，而机器学习模型都假设数据有着同一分布，可以将市场分割为不同周期，每个周期有着不同的参数，以往数据更多是去验证模型的优越性，而模型参数更多依赖于近期数据。

以上就是我对徐凤敏教授《基于时间加权svm指数复制模型和实证分析》的浅解，期望做她的研究生，做更深一步的研究！！