载波同步

通信接收机解调器设计中，一个很重要的模块是载波同步。由于通信双方的相对运动和时钟差异，到达接收机的载波调制信号存在一定的频率和相位漂移，这是不利于相干解调的，因此加入载波同步模块，对存在的频率和相位偏差进行估计、补偿，以便在本地产生与接收信号同频同相的载波信号，用来相干解调，得到基带信号（这里暂且忽略多径效应，并假定没有码字偏差）。载波同步技术主要有两类，一类是非数据辅助的同步，如锁相环技术；另一类是基于数据辅助的同步，即在发送数据中加入特定的已知信息位，用于辅助载波同步。今天主要讲讲数据辅助的载波同步技术中，对未知参数估计的方法，即载波同步中的最大似然估计。

接收信号的概率密度分布函数

最大似然估计第一步就是要建立似然函数，而似然函数又是和数据样本的概率分布函数相关，因此首先需要知道接收信号的概率密度分布函数。这里设发送信号为 $X(t)$，接收到的信号为 $Y(t)$，高斯信道引入的噪声为 $W(t)$，则： $Y(t) =X(t) + X(t)$。噪声满足标准正态分布，设其方差为 $\sigma$，可推出接收信号 $Y(t)$的概率密度分布函数为：
$P(Y(t)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp({-\frac{(Y(t)-X(t))^2}{2\sigma^2}})$
这是到达接收机的信号 $Y(t)$的概率分布，在接收机的处理中，第一步是下变频，将数字中频信号变换至基带，成为正交信号，即下变频后的信号变为了有实部和虚部的复信号 $Y^{ddc}(t)$，同时 $X(t)$和 $W(t)$也会变为复信号，不变的是噪声的概率分布，那复信号 $Y^{ddc}(t)$的概率分布又会变成什么样呢？其实这是一个简单的联合概率分布问题。
$P(Y^{ddc}(t)) = P（Y^{ddc}_{real}(t),Y^{ddc}_{imag}(t))= P(Y^{ddc}_{real}(t))P(Y^{ddc}_{imag}(t))$
则，
$P(Y^{ddc}(t)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp({-\frac{（Y^{ddc}_{real}(t)-X^{ddc}_{real}(t))^2}{2\sigma^2}})* \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp({-\frac{(Y^{ddc}_{imag}(t)-X^{ddc}_{imag}(t))^2}{2\sigma^2}} )= \frac{1}{{2\pi}\sigma^2}exp({-\frac{|Y^{ddc}(t)-X^{ddc}(t)|^2}{2\sigma^2}} )$

载波同步中的最大似然估计

这里就不再啰嗦最大似然的基本原理了，需要补知识的童鞋可以点链接 通俗易懂的最大似然估计 当你明白了什么是最大似然和最大似然估计，接着就来看看在基于数据辅助的载波同步中，怎么使用最大似然估计。

1. 建立似然函数 $L(R_i|\gamma)$ ，其中 $R_i$为下变频后的样本序列， $\gamma$为待估参数，其代表频偏和相偏的集合，即 $\gamma={(f_d,\theta_d)}$，则似然函数为带有参数 $\gamma$的样本序列概率分布函数的连乘。
   $L(R_i|\gamma) = ∏_{i=1}^N\frac{1}{{2\pi}\sigma^2}exp({-\frac{|Y_{ddc}(t_i，\gamma)-X_{ddc}(t_i，\gamma)|^2}{2\sigma^2}} )$
   其中N表示用于最大似然估计的样本长度。
2. 似然函数取对数，为方便计算，一般会用对数似然函数来代替原始的似然函数，将连乘运算变为连加运算。
   $Ln[L(R_i|\gamma)] =NLn(\frac{1}{{2\pi}\sigma^2})+∑_{i=1}^N-\frac{|Y_{ddc}(t_i,\gamma)-X_{ddc}(t_i,\gamma)|^2}{2\sigma^2}$
3. 对数似然函数的极大值，当参数估计准确时，样本序列概率函数连乘有最大值。即对数似然函数的最大值对应的参数值即为待估参数的实际值，所以基于最大似然的参数估计就变为了求似然函数最大值的问题。
   $Max(Ln[L(R_i|\gamma)]) = Max(-∑_{i=1}^N|Y_{ddc}(t_i,\gamma)-X_{ddc}(t_i,\gamma)|^2)$
   $=Max(-∑_{i=1}^N|Y_{ddc}(t_i,\gamma)|^2-∑_{i=1}^N|X_{ddc}(t_i,\gamma)|^2+2∑_{i=1}^NRe(Y_{ddc}(t_i,\gamma)*Conj(X_{ddc}(t_i,\gamma))))$
   其中 $Y_{ddc}(t_i,\gamma)$为接收的样本序列，其值属于固定的，因此在最大值计算中，可以去除，则上式可进一步简化为：
   $Max(Ln[L(R_i|\gamma)]) =Max(2∑_{i=1}^NRe(Y_{ddc}(t_i,\gamma)*Conj(X_{ddc}(t_i,\gamma)))-∑_{i=1}^N|X_{ddc}(t_i,\gamma)|^2))$
   $X_{ddc}(t_i,\gamma)$是接收数据中的已知序列（所谓的数据辅助 指的就是它的辅助，因此它对于我们来说是已知的，譬如常用的导频序列，前导序列等），但它与发送端的序列还是有点区别的，区别在于它包含了频率和相位的偏差信息，其可描述为 $X_{ddc}(t_i,\gamma)=C_ie^{j(2\pi f_diT +\theta_d)}g(t-iT)$，可见 $|X_{ddc}(t_i,\gamma)|^2$也为一个固定值，因此上面的最大值计算公式可进一步简化为：
   $Max(Ln[L(R_i|\gamma)]) =Max(∑_{i=1}^NRe(Y_{ddc}(t_i,\gamma)*Conj(X_{ddc}(t_i,\gamma))))$
   将 $X_{ddc}(t_i,\gamma)$的表达式带入上式，得
   $Max(Ln[L(R_i|\gamma)]) =Max(Re(e^{-j\theta_d}∑_{i=1}^NC_i^**Y_{ddc}(t_i,\gamma)e^{-j2\pi f_diT}g(t-iT)))$
   设 $∑_{i=1}^NC_i^**Y_{ddc}(t_i,\gamma)e^{-j2\pi f_diT}g(t-iT)=|A|e^{j\psi}$,则上式可简写为
   $Max(|A|cos(j\psi-\theta))$