题意
给定两个长度为 的序列 ,保证这两个序列没有相同的元素,求有多少匹配满足 的 个数的比满足 的 的个数多 。
数据范围
对于
的测试数据,
对于
的测试数据,
对于
的测试数据,
,
为正整数并在int
以内。
题解
首先,由于题目给的所有数都不相同,所以每次要不就是 要不就是 。
因此题目相当于是求恰好有 组 的方案数,也因此无解的判法就是 为奇数。
显然对于 的数据,我们可以考虑枚举一下 的排列,然后暴力 check 即可,复杂度
对于 的数据,我们可以考虑动态规划的做法:
记 表示考虑到前 个 内的数,满足 的数量一共有 组,而在序列 中取了 这样的数。 内的 表示在 中取或者不取。
那么显然转移就是
这样复杂度就是
那么这对于 的数据范围显然是非常爆炸的,而又感觉到这个状压实在是非常的浪费,那么怎么把它优化掉呢?
如果我们能直接地求出 (或者记为 )的值的话,那么这个状压的复杂度就可以吃掉了。
具体做法的话,我们考虑每次塞进了一个新的数,那么可以钦定它比较的结果是大的或者是小的对吧
设当前状态是 ,对于新加入的 ,如果是大的,那要把 向 转移,如果是小的,就要向 转移。
那么有多少种转移方案呢?
我们首先记 中每个数能比 中的多少个数大,记为 ,然后把 和 都从小到大排序,这样一来求得的 也是从小到大排序的
如果它是对大的作出的贡献,那么考虑他能得到大这个结果的数目只有 个,而我们已经用掉 个了,那么就只剩下 种方案让他成功了
如果它是对小的作出的贡献,那么我们还是已经用掉 个能得到大的结果的数目了,那么还有 可以让他随便取小
于是转移方程就变成了这样:
然后 orz alphaGem 说这么推会爆负数,就是说在乘上 的地方会爆负,然后我的想法是由于你 是单调递增的,也就是说如果 了,就意味着这个状态是不可能存在的(不可能会使得有一个 然后 的情况。
代码如下:
#include <bits/stdc++.h>
#define R register
#define LL long long
template<class TT>inline TT Max(R TT a,R TT b){return a<b?b:a;}
template<class TT>inline TT Min(R TT a,R TT b){return a<b?a:b;}
using namespace std;
template<class TT>inline void read(R TT &x){
x=0;R bool f=false;R char c=getchar();
for(;c<48||c>57;c=getchar())f|=(c=='-');
for(;c>47&&c<58;c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
(f)&&(x=-x);
}
const int mod = 1e9+9;
int n,k;
namespace subtask_1{
int x[11],y[11];
int main(){
for(R int i=1;i<=n;++i)read(x[i]);
for(R int j=1;j<=n;++j)read(y[j]);
(k+=n)>>=1;
sort(x+1,x+1+n);
R int tmp=0,ans=0;
do{
tmp=0;
for(R int i=1;i<=n;++i)if(x[i]>y[i])tmp++;
if(tmp==k)++ans;
}while(next_permutation(x+1,x+1+n));
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
}//true brute force
namespace subtask_2{
int x[16],y[16],S;
int f[20][20][1<<15];//f[i][j][s] means we consider first i numbers, win j times, opposite's state is s
int main(){
S=1<<n;(k+=n)>>=1;
for(R int i=1;i<=n;++i)read(x[i]);
for(R int i=1;i<=n;++i)read(y[i]);
f[0][0][0]=1;
for(R int i=1;i<=n;++i){//first i numbers
for(R int j=0;j<=n;++j){//win j
for(R int s=0;s<S;++s){//now state
for(R int t=1,tmp;t<=n;++t){//transform
if(s&(1<<(t-1)))continue;//not legal
tmp=j+(x[i]>y[t]);
R int &now=f[i][tmp][s|(1<<t-1)];
now=(now+f[i-1][j][s])%mod;
}
}
}
}
printf("%d\n",f[n][k][S-1]);
return 0;
}
}//states compressing recusion by bit
namespace total{
int x[2222],y[2222];
int win[2222];
int f[2222][2222];
int main(){
(k+=n)>>=1;
for(R int i=1;i<=n;++i)read(x[i]);
for(R int i=1;i<=n;++i)read(y[i]);
sort(x+1,x+1+n);
sort(y+1,y+1+n);
for(R int i=1,j=1;i<=n;){
if(x[i]<y[j]||j>n){
win[i]=j-1;
++i;
}else j++;
}
for(R int i=f[0][0]=1;i<=n;++i){
for(R int j=0;j<=i;++j){
f[i][j]=((LL)f[i-1][j-1]*(win[i]-j+1)+(LL)f[i-1][j]*(i+j-win[i]))%mod;
}
}
printf("%d\n",f[n][k]);
return 0;
}
}
int main(){
read(n);read(k);
if((n+k)&1)return puts("0")&0;
if(n<=10)return subtask_1::main();
if(n<=15)return subtask_2::main();
return total::main();
}