如果看了
原码的乘运算,这篇更容易理解。
补码一位乘运算
假设:
[X]补=xn-1xn-2……x1x0
[Y]补=yn-1yn-2……y1y0
已知补码的性质:
X=−xn−1×2n−1+xn−2×2n−2+……+x1×21+x0×20
令n=32则:
Y=−y31×231+y30×230+……+y1×21+y0×20
Y=−y31×231+(y30×231−y30×230)+……+(y1×22−y1×21)+(y0×21−y0×20)
Y=(y30−y31)×231+(y29−y30)×230+……+(y0−y1)×21+(y−1−y0)×20
这里y-1=0时等式成立
为了便于处理,我们对Y乘2-32,这样小数点位于最前面。
2−32×[X×Y]补=X×(y30−y31)×2−1+X×(y29−y30)×2−2+……+X×(y−1−y0)×2−32
2−32×[X×Y]补=2−1×(X×(y30−y31)+2−1×(X×(y29−y30)+……+2−1×(X×(y−1−y0))))
我们可以看到等式中存在
y31,表明补码的符号位也参加运算。
我们根据上面得到递推公式:
Pi+1=2−1×(X×(yi−1−yi)+Pi)
P0=0
yi-1 |
yi |
操作 |
0 |
0 |
算术右移 |
0 |
1 |
减X后算术右移 |
1 |
0 |
加X后算术右移 |
1 |
1 |
算术右移 |
举例说明:
X=-3 Y=-2
[X]补=1101
[Y]补=1110
[X]变补=0011(减X时用)
根据yi-1和yi两位来判断操作是什么,移位是算术移位,因为上面符号位始终都是0,所以每次都补0。
结果0000 0110表示+6,可以看出如果高四位全是0或1,则结果可以用4位数存放而不会溢出。
溢出判断:高四位不全为0或不全为1
补码两位乘运算
推导:
(1)Pi+1=2−1×(X×(yi−1−yi)+Pi)
(2)Pi+2=2−1×(X×(yi−yi+1)+Pi+1)
将(1)式代入(2)式得:
Pi+2=2−1×(X×(yi−yi+1)+2−1×(X×(yi−1−yi)+Pi))
Pi+2=2−1×2−1×(X×(2yi−2yi+1)+X×(yi−1−yi)+Pi)
Pi+2=2−2×(X×(yi−1+yi−2yi+1)+Pi)
yi+1 |
yi |
yi-1 |
操作 |
迭代公式 |
0 |
0 |
0 |
右移两位 |
2−2×(0+Pi) |
0 |
0 |
1 |
加X,右移两位 |
2−2×(X+Pi) |
0 |
1 |
0 |
加X,右移两位 |
2−2×(X+Pi) |
0 |
1 |
1 |
加2X,右移两位 |
2−2×(2X+Pi) |
1 |
0 |
0 |
减2X,右移两位 |
2−2×(−2X+Pi) |
1 |
0 |
1 |
减X,右移两位 |
2−2×(−X+Pi) |
1 |
1 |
0 |
减X,右移两位 |
2−2×(−X+Pi) |
1 |
1 |
1 |
右移两位 |
2−2×(0+Pi) |
- 因为存在加2X的情况,X需要左移1位,所以最高位需要加1位,用2位符号位。
- 加2X可以将X的补码左移1位之后再相加。
- 减2X可以将X的变补码左移1位之后再相加。
仍然用上面的例子:
X=-3 Y=-2
[X]补=1101
[Y]补=1110
[X]变补=0011(减X时用)
根据yi-1和yi和yi+1三位来判断操作是什么,移位是算术移位,因为上面符号位始终都是0,所以每次都补0。
可以看到,只循环了两次(n/2次)。效率更高。