人工智能里的数学修炼 | 概率图模型 : 隐马尔可夫模型
人工智能里的数学修炼 | 隐马尔可夫模型:前向后向算法
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已经较为清楚的讲述了隐马尔可夫模型及其在实际应用的三个问题:1. 生成观察序列概率, 2. 预测问题, 3. 模型参数学习问题。
这里介绍求解第一个生成观察序列概率的前向后向算法,前向后向算法实际上是两个算法的合成,即前向算法和后向算法,二者相似,这里主要以前向算法为例进行介绍
一、前向算法
前向算法针对的是隐马尔可夫模型的概率计算问题,即给定一个模型参数已知的隐马尔可夫模型(HMM)和一组观测序列
x1,x2,...,xn,求HMM生成这组观测序列的概率
前向算法定义了一个“前向概率”的定义,即:
给定隐马尔可夫模型
λ,定义1到t时刻部分的观测序列为
x1,x2,...,xt,则t时刻的状态
xt为
i的概率
qi为前向概率, 记做
ct(i)=P(x1,x2,...,xt,ii=qi∣λ)
定义说明:由于每个状态生成一个观测变量,那么在
t时刻就会生成
t个观测变量,在
t时刻处于状态
i的概率就是前向概率。状态
i的的取值范围为
o1,o2,...,oM,详见 人工智能里的数学修炼 | 概率图模型 : 隐马尔可夫模型
利用定义的前向概率,可以很容易的从1到递推到
t得到观测序列概率
P(x1,x2,...,xt∣λ),共有三步:
- 计算初值(t=1)
c1(i)=πjbji,j={1,2,...,N} 这里
πj表示初始状态下状态变量为
j的概率,
bji表示从状态
j推出观测
i的输出观测概率
- 递推环节,对于
t=1,2,...,T−1
ct+1(i)=[k=1∑Nct(k)akj]bji,k=1,2,...,N这里的
akj表示由状态
k转移到状态
j的状态转移概率,
bji表示由状态
j推出观测
i的输出观测概率
- 到达指定时刻T
P(x1,x2,...,xt∣λ)=i=1∑NcTi
前向算法的求解过程其实是相当简洁明了的,即从1到T时刻,对应于每一个观测值
xt都计算其由前一时刻状态转移后状态输出概率各种可能的和。
二、后向算法
后向算法是前向算法的逆过程,定义了相应的“后向概率”,其原理其实是相似的,这里不做多余的赘述