一、反对称矩阵

定义运算 $\tilde{\cdot}$ 为：

$\tilde{l} = \begin{pmatrix} 0 & -c & b\\ c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \end{pmatrix}$

其中

$l = \begin{bmatrix} a\\ b\\ c \end{bmatrix}$

二、叉乘（外积、向量积）

该运算定义为：

$a\times b = (a,b,c)\times(x,y,z) = （bz-cy, cx-az, ay-bx）$

我们将最后一个等号写成矩阵相乘的形式：

$a\times b = \begin{pmatrix} 0 & -c & b\\ c & 0 & -a\\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$

你会发现，

$a\times b = \tilde a b$

即 $a$与 $b$的外积，等于 $a$的反对称矩阵与 $b$的乘积

三、向量微分

定义 $x(s)$是一个{F}坐标系下的向量，其关于变量s的微分如下：

$\frac{d_Fx}{ds} = \frac{d[^Fx(s)]}{ds} = \begin{bmatrix} \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \frac {dx_1(s)}{ds}\\ \end{bmatrix}$

则 $x(s)$在{G}坐标系下关于s的微分可表示为：

$\frac{^Gd_F x}{ds} = _{}^{G}\textrm{R} _F \frac{^Fd_F}{ds}$

式中 $R$为旋转矩阵

旋转矩阵的微分

并非每一时刻的旋转矩阵都是一致的

因此，旋转矩阵对时间的微分为：

$\frac{d^FR_G}{dt} = ^F \tilde \omega ^FR_G = ^FR_{G}\\ ^G \tilde \omega$