统计学计算题选讲
第 1 题
某班级学生物理课程考试成绩分别为:
68 89 88 84 86 87 75 73 72 68
75 82 97 58 81 54 79 76 95 76
71 60 90 65 76 72 76 85 89 92
64 57 83 81 78 77 72 61 70 81
评分等级规定:60分以下 为不及格;60─70分 为及格;70─80分为 中;80─90分 为良,90─100分 为优。
要求:
(1)将参加考试的学生按考试成绩分为不及格、及格、中、良、优五组并编制一张考核成绩次数分配表;
(2)指出分组标志及类型及采用的分组方法;
(3)计算学生物理课程考核平均成绩
(4)根据整理之后的统计变量序列,以95.45%的概率保证程度推断全体学生考试成绩的区间范围。
(5)若其它条件不变,将允许误差范围缩小一半,应抽取多少名学生的成绩?
解答:
首先,通过对学生物理课程考试的40个成绩进行分组统计,如下:
成绩 | 学生人数 | 频率(%) |
---|---|---|
60分以下 | 3 | 7.5 |
60-70分 | 6 | 15 |
70-80分 | 15 | 37.5 |
80-90分 | 12 | 30 |
90-100分 | 4 | 10 |
合计 | 40 | 100 |
对上面的表格进行变形,并进行计算:
成绩 | 组中值
|
学生人数 |
频率(%)
|
|
---|---|---|---|---|
60分以下 | 55 | 3 | 7.5 | |
60-70分 | 65 | 6 | 15 | 864 |
70-80分 | 75 | 15 | 37.5 | 60 |
80-90分 | 85 | 12 | 30 | 768 |
90-100分 | 95 | 4 | 10 | 1296 |
合计 | 40 | 100 | 4440 |
根据上表:
根据计算公式:
从而得: = 55×7.5%+65×15%+75×37.5%+85×30%+95×10% = 77.0
即学生物理课程考试成绩的平均值为:77.0分。
根据公式:
从而得到:
即该班级学生物理课程考试成绩的标准差为()
进而,
全体学生考试成绩区间范围是:
下限 =
上限 =
即全体学生考生成绩区间范围在 73.66 —— 80.30 分之间。
如果将允许的误差范围缩小一半,则应抽取的学生人数为:
解答完毕。
第 2 题
有两个班级参加统计学考试,甲板的平均分数为75分,标准差11.5分;乙班的考试成绩资料如下:
按成绩分组(分) | 学生人数(人) |
---|---|
60分以下 | 2 |
60-70分 | 5 |
70-80分 | 8 |
80-90分 | 6 |
90-100分 | 4 |
合计 | 25 |
要求:(1)计算乙班的平均分数和标准差;(2)比较哪个班级的平均分数更有代表性?
解答:
要计算乙班的平均分数,需要对上表进行一些简单的变形计算:
按成绩分组(分) | 组中值(分)
|
学生人数(人) |
|
---|---|---|---|
60分以下 | 55 | 2 | 110 |
60-70分 | 65 | 5 | 325 |
70-80分 | 75 | 8 | 600 |
80-90分 | 85 | 6 | 510 |
90-100分 | 95 | 4 | 380 |
合计 | 1925 |
乙班的平均成绩为:
根据公式:
则:
计算变异系数:
甲班:
乙班:
因为 甲班级的标准差系数 大于 乙班级的标准差系数,所以 乙班级 的平均成绩更具有代表性。
第 3 题
某钢铁厂生产某种钢管,现从该厂某月生产的500根产品中抽取一个容量为100根的样本。已知一级品率为60%,试求样本一级品率的抽样平均误差。
求解:
由题意可知:一级品率为60%,即 p=60%;从500根产品中抽取一个容量为100根的样本,则:,,
解答完毕。
第 4 题
某工厂生产的零件长度服从正态分布,从该工厂生产的零件中随机抽取25件,测得它们的平均长度为30.2厘米。已知总体标准差 厘米。
求:(1)计算抽样平均误差和抽样允许误差。(2)估计零件平均长度的可能范围()。
解答:
由题意可知 ~ ,,,
(1)抽样平均误差为:,查标准正态分布表可知在 时,,
所以抽样允许误差为:
(2)总体均值的置信区间为:
即
即我们可以以95%的概率保证该厂零件平均长度在30.02厘米到30.38厘米之间。
解答完毕。
第 5 题
从某市高中生中按不重复抽样方法随机抽取25名调查每周收看电视的时间,分组资料见表:
要求:(1)计算抽样平均误差和抽样允许误差;(2)估计该市全体高中生每周平均看电视时间的置信区间(给定的显著性水平为0.05)。
解答:根据题目意思首先将上表做一个简单的处理,
每周看电视时间(小时) | 组中值 |
学生人数(人) | |
---|---|---|---|
2以下 | 1 | 2 | 32 |
2 ~ 4 | 3 | 6 | 24 |
4 ~ 6 | 5 | 8 | 0 |
6 ~ 8 | 7 | 8 | 32 |
8 ~ 10 | 9 | 1 | 16 |
合计 | 104 |
学生看电视的平均值为: 小时,
样本方差为:
查 分布表知 时,临界值
因此:
抽样平均误差为:
抽样允许误差为:
总体均值置信度为95%的置信区间为:,即
即我们可以以95%的把握保证该市高中生每周平均看电视时间在4.14到5.86小时之间。
解答完毕。
第 6 题
某工厂对一批产成品按不重复抽样方法随机抽选200件进行质量检测,其中一等品160件,试以90%的概率估计一等品率的范围。
解答:
由题意已知:p = 160/200 = 80%; 1-α = 90% ;n=200;
查表知:,计算得样本比例的抽样平均误差为:
抽样极限误差为:,即 4.655%
所以,该批产品的一等品比例的置信区间为:80%-4.655% ~ 80%+4.655%,即 75.35% ~ 84.66% 之间。
解答完毕。
第 7 题
从某班学生中随机抽取16人,计算得语文平均成绩为75分,方差为25分。假定学生成绩服从正态分布,试求总体方差及标准差的置信区间(给定的显著性水平为0.05)。
解答:
有题目已知:,,查 分布表确定两个临界值:
,
将临界值数字带入公式中,总体方差和标准差的置信度为 的置信区间分别为:
,即
解答完毕。
第 8 题
1、某快餐店某天随机抽取49名顾客对其的平均花费进行抽样调查。调查结果为:平均花费8.6元,标准差2.8 元。试以95.45%的置信度估计:
(1)该快餐店顾客总体平均花费的置信区间及这天营业额的置信区间(假定当天顾客有2000人);
(2)若其他条件不变,要将置信度提高到99.73%,至少应该抽取多少顾客进行调查?
(提示:,,,)
解答:
由题意值 ,标准差:,,
则:
由于以95.45%的置信度估计,则
总体均值的置信区间:,即
营业总额的置信区间:,即
若其它条件不变,将置信度提高到 99.73%,至少应该抽取的顾客数量为:
必要的样本容量:
解答完毕 。
第 9 题
一所大学准备采取一项学生在宿舍上网收费的措施,为了解男女学生对这一措施的看法,分别抽取了150名男学生和120名女学生进行调查,得到的结果如下:
|
男学生 |
女学生 |
合计 |
赞成 |
45 |
42 |
87 |
反对 |
105 |
78 |
183 |
合计 |
150 |
120 |
270 |
请检验男女学生对上网收费的看法是否相同。已知:显著性水平 ,,, 。
解答:
原假设为::;
拒绝假设为::
显著性水平:
决策:在 的水平上不能拒绝
所以结论:男女学生对上网收费的看法是相同的。
解答完毕。