这道题是一个模板题,所以先上原模板:
这样的划分被称作
的
划分数,特别地,
时称作
的划分数、DP不仅对于求解最优问题有效,对于各种排列组合的个数、概率或者期望之类的计算同样很有用。在此,我们定义如下。
根据这一定义可以得到怎样的递推关系呢?将
个划分成
个的话,可以先取出
个然后将剩下的
个分成
份,这时大家是不是认为也许就可以得到下面的递推式了?
但很不幸的是,这个递推是不正确的。用这个办法的话,例如1+1+2和1+2+1的划分就被当成是不同的划分来计数了。为了不重复计数,我们需要寻找别的递推关系。考虑 的 划分 ,
- 如果有任意 ,那么 也就是 的 划分此时这两个组合数是一样的,因为前者也只是给后者每个位置+1而已。
- 如果存在 ,那么就对应了 的 划分。
而对于 的 而言,这两种可能性显然都可以在他的排列种发生,而如果 ,那么只有第二种情况会发生。因此我们有
if(j>=i)dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-i])\%M
else ~dp[i][j]=dp[i-1][j]
例题:牛客网-放苹果
题目描述
把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放,问共有多少种不同的分法?(用K表示)5,1,1和1,5,1 是同一种分法。
输入描述:
每行均包含二个整数M和N,以空格分开。1<=M,N<=10。
输出描述:
对输入的每组数据M和N,用一行输出相应的K。
#define ll int
#define vec vector<ll>
#define MAX 15
#define inf 0x3fffffff
ll dp[MAX][MAX];
int main() {
ll M, N;
while (cin >> M >> N) {
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
//j从零开始,也就是每行的第一列都是1 dp[i][0]=1 因为盘子可以为空
for (int j = 0; j <= M; j++) {
if (j >= i)dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - i];
else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
cout << dp[N][M] << endl;
}
}