1.条件分布律

设 $(X,Y)$是二维离散型随机变量,对于固定的 $j$,若 $P\{Y=y_{j}\}>0,$则称
$P\{X=x_{i}|Y=y_{j}\}=\frac{P\{X=x_{i},Y=y_{j}\}}{P\{Y=y_{j}\}}=\frac{p_{ij}}{p_{.j}},i=1,2,\dots$
为在 $Y=y_j$条件下随机变量 $X$的条件分布律.
同样,对于固定的 $i$,若 $P\{X=x_{i}\}>0,$则称
$P\{Y=y_{j}|X=x_{i}\}=\frac{P\{X=x_{i},Y=y_{j}\}}{P\{X=x_{i}\}}=\frac{p_{ij}}{p_{i.}},j=1,2,\dots$
为在 $X=x_i$条件下随机变量Y的条件分布律.

2.条件概率密度

设二维随机变量 $(X,Y)$的概率密度为 $f(x,y),(X,Y)$关于 $Y$的边缘概率密度为 $f_Y(y).$若对于固定的 $Y，f_Y(y)>0,$则称 $\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$为在 $Y=y$的条件下 $X$的条件概率密度,记为
$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.$
称 $\int_{-\infty}^{x}f_{X|Y}(x|y)dx=\int_{-\infty}^{x}\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx$为 $Y=y$的条件下 $X$的条件分布函数,记为 $P\{X \leq x|Y=y\}$或 $F_{X|Y}(x|y).$
类似地,可以定义 $f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$和 $F_{Y|X}(y|x)=\int_{-\infty}^{y}\frac{f(x,y)}{f_X(x)}.$

3.相互独立的随机变量

设 $F(x,y)$及 $F_X(x),F_Y(y)$分别是二维随机变量 $(X,Y)$的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 $x,y$有
$P\{X \leq x,Y \leq y\}=P\{X \leq x\}P\{Y \leq y\},\\ 即F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),$
则称随机变量 $X$和 $Y$是相互独立的.

4.结论

二维正态随机变量 $(X,Y)$的概率密度为
$f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} \exp \left\{\frac{-1}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{\sigma_{1}^{2}}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_{1}\right)\left(y-\mu_{2}\right)}{\sigma_{1} \sigma_{2}}+\frac{\left(y-\mu_{2}\right)^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]\right\}$
对于二维正态随机变量 $(X,Y),X$和 $Y$相互独立的充要条件是参数 $\rho=0.$

5.定理

设 $(X_1,X_2,\dots,X_m)$和 $(Y_1,Y_2,\dots,Y_n)$相互独立,则 $X_i(i=1,2,\dots,m)$和 $Y_j(j=1,2,\dots,n)$相互独立.又若 $h,g$是连续函数,则 $h(X_1,X_2,\dots,X_m)$和 $g(Y_1,Y_2,\dots,Y_n)$相互独立.

6.Z=X+Y的分布

设 $(X,Y)$是二维连续型随机变量,它具有概率密度 $f(x,y).$则 $Z=X+Y$仍为连续型随机变量,其概率密度为
$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(z-y,y)dy,\\ 或 f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx.$
又若 $X$和 $Y$相互独立,设 $(X,Y)$关于 $X,Y$的边缘密度分别为 $f_X(x),f_Y(y),$则
$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy, \\ f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx.$
这两个公式记为 $f_X$和 $f_Y$的卷积公式,记为 $f_X*f_Y,$即
$f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx.$
$Z=X+Y的分布函数为$
$F_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{z}f(u-y,y)du]dy=\int_{-\infty}^{z}[\int_{-\infty}^{\infty}f(u-y,y)dy]du.$

7.应用

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.即
$Z=X_1+X_2+\dots+X_n \sim N(\mu_1+\mu_2+\dots+\mu_m,{\sigma_1}^2+{\sigma_2}^2+\dots+{\sigma_n}^2).$

8.卡方分布( $\Gamma$)分布

若 $n$个相互独立的随机变量 $ξ₁,ξ₂,...,ξn ,$均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布(chi-square distribution).
设随机变量 $X,Y$相互独立,且分别服从参数为 $\alpha,\theta,;\beta,\theta$的 $\Gamma$分布(分别记作 $X \sim \Gamma(\alpha,\theta),Y \sim \Gamma(\beta,\theta)).X,Y$的概率密度分别为
$f_X(x)= \left\{\begin{aligned} &\frac{1}{\theta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\theta}}, x>0,\alpha>0,\theta>0.\\ &0,其他,\\ \end{aligned}\right.\\ f_Y(y)= \left\{\begin{aligned} &\frac{1}{\theta^\beta\Gamma(\beta)}x^{\beta-1}e^{-\frac{y}{\theta}}, x>0,\beta>0,\theta>0.\\ &0,其他,\\ \end{aligned}\right.$
且有 $X+Y \sim \Gamma(\alpha+\beta,\theta).$(可加性）

9. $Z=\frac{Y}{X}$的分布 $Z=XY$的分布

设 $(X,Y)$是二维连续型随机变量,它具有概率密度 $f(x,y),$则 $Z=\frac{Y}{X},Z=XY$仍为连续型随机变量,其概率密度分别为
$f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x,xz)dx,\\ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}{\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx.$
又若 $X$和 $Y$相互独立.设 $(X,Y)$关于 $X,Y$的边缘密度分别为 $f_X(x),f_Y(y)$，则
$f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f_X(x)f_Y(xz)dx.\\ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx.$

10.M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布

$M=max\{X,Y\}$的分布函数为
$F_{max}(z)=F_x(z)F_Y(z).$
$M=max\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$的分布函数为
$F_{max}(z)=F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)\dots F_{X_n}(z).$
$N=min\{X,Y\}$的分布函数为
$F_{min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].$
$N=min\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$的分布函数为
$F_{min}(z)=1-[1-F_{X_1}(z)][1-F_{X_2}(z)] \dots[1-F_{X_n}(z)].$