Exersise

*8.4-5 定义随机变量 $X$的概率分布函数 $P(x)=Pr\{X\leq x\}$。假设有 $n$个随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$。服从一个连续概率分布函数 $P$,且它可以在 $O(1)$的时间内被计算得到。设计一个算法，使其能够在平均情况下在线性时间内完成这些数的排序。

令 $P(y_i)=Pr\{X\leq y_i\}=\frac{i}{n}$， $i=1,\cdots ,n$

$P(y_1)=\frac{1}{n}$

$P(y_2)=\frac{2}{n}$

$P(y_3)=\frac{3}{n}$

$\cdots$

$P(y_n)=1$

解出 $y_i$作为桶排序中桶的序号，如果 $X\in(-\infin,y_1)$则把 $X$放入 $y_1$桶内，如果 $X\in(y_1,y_2)$则把 $X$放入 $y_2$桶内，以此推类，平均情况下每个桶大小大致相同，桶排序可以在 $\Theta(n)$内完成。最坏情况下，每个 $X$都在 $(y_{n-1},y_n)$之间，即最后一个桶中，寻找桶需要花费 $O(n^2)$，排序需要花费 $O(n^2)$，一共花费 $O(n^2)$。