线性筛
欧拉筛本质上是在对每一个数找到它最小的质因数,然后把它筛除,复杂度
本文中所有的
PROOF:
From the code below we have that
Let
Q.E.D.
#include <cstdio>
#define R register
const int MaxN = 1000000
bool vis[MaxN];
int P[MaxN], tot;
int main()
{
for(R int i = 2; i <= MaxN; i++)
{
if(!vis[i]) P[++tot] = i, phi[i] = P[tot] - 1;
for(R int j = 1; j <= tot && P[j] * i <= MaxN; j++)
{
vis[i * P[j]] = 1;
if(i % P[j] == 0) break;
}
}
return 0;
}
欧拉函数
φ
欧拉函数:
Euler Theorem:
Theorem 1:
PROOF
Let
Q.E.D.
欧拉筛解决欧拉函数,
由前文可知,欧拉筛可以让我们快速的找出每一个数的最小质因数。
由于欧拉函数是积性函数,所以我们只需要求出
PROOF:
Let
We conclude that
Q.E.D.
#include <cstdio>
#define R register
bool vis[1000010];
int P[1000010], tot, phi[1000010];
int main()
{
for(R int i = 2; i <= 1000000; i++)
{
if(!vis[i]) P[++tot] = i, phi[i] = P[tot] - 1;
for(R int j = 1; j <= tot && P[j] * i <= 1000000; j++)
{
vis[i * P[j]] = 1;
if(i % P[j] == 0)
{
phi[i * P[j]] = phi[i] * P[j];
break;
}
else phi[i * P[j]] = phi[i] * (P[j] - 1);
}
}
return 0;
}
莫比乌斯反演
μ
欧拉筛解决莫比乌斯函数,
莫比乌斯函数:
莫比乌斯函数可以用于解决形如:
同理,莫比乌斯函数也是一个积性函数,所以我们只需快速地求出
PROOF:
From the defination of Möbius inversion formula we have that iff
We conclude that
Q.E.D.
#include <cstdio>
#define R register
bool vis[1000010];
int P[1000010], tot, mu[1000010];
int main()
{
mu[1] = 1;
for(R int i = 2; i <= 1000000; i++)
{
if(!vis[i]) P[++tot] = i, mu[i] = -1;
for(R int j = 1; j <= tot && P[j] * i <= 1000000; j++)
{
vis[i * P[j]] = 1;
if(i % P[j] == 0)
{
mu[i * P[j]] = 0;
break;
}
else mu[i * P[j]] = -mu[i];
}
}
return 0;
}
参考文献:
1.贾志鹏,《线性筛法与积性函数》。