$diff(f, x)$求导数可引入求微分方程

sympy 求微分方程.(点击可跳转)

1.一阶导数

基本格式

print(diff(f, x)) 
# f为所求导函数，x为对x进行求导

例：求该函数的导数
$f(x)=cos(x)$

程序，如下

from sympy import *
x = symbols('x')
print(diff(cos(x), x))

结果：-sin(x)

$~$

2.二阶导数

例：求该函数的二阶导数
$f(x)=cos^{2}(x)$

程序，如下

from sympy import *
x = symbols('x')
print(diff(cos(x), x, 2)) # or print(diff(cos(x), x, x))

结果：-cos(x)

解释:
$diff(cos(x), ~x,~2)$ 此处的2指对 $x$进行两次求导 $~~~~~$即：二阶导数

同理， $diff(cos(x), ~x,~x)$ 此处的两个 $x$也是对 $x$进行两次求导

可推广到更高阶

$~$

3.一阶偏导数

例：求该函数的一阶偏导数
$\quad g(x,y)=\frac{cos(x^2y)}{x^2+y^2+1}$

程序，如下

from sympy import *
g = symbols('g', cls=Function)
x, y = symbols('x y')
eq = cos(x**2*y)/(x**2+y**2+1)
dx = diff(eq, x)
dy = diff(eq, y)

print("对x的一阶偏导：", dx)
print("对y的一阶偏导：", dy)

结果

对x的一阶偏导： -2*x*y*sin(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1) - 2*x*cos(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1)**2
对y的一阶偏导： -x**2*sin(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1) - 2*y*cos(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1)**2

$~$

4.二阶偏导数

例：求该函数的二阶偏导数
$\quad g(x,y)=\frac{cos(x^2y)}{x^2+y^2+1}$

程序，如下

from sympy import *
g = symbols('g', cls=Function)
x, y = symbols('x y')
eq = cos(x**2*y)/(x**2+y**2+1)

dx_2 = diff(eq, x, 2)
dy_2 = diff(eq, y, 2)

print("对x的二阶偏导：", dx_2)
print("对y的二阶偏导：", dy_2)

结果

对x的二阶偏导： 2*(4*x**2*y*sin(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1) - y*(2*x**2*y*cos(x**2*y) + sin(x**2*y)) + (4*x**2/(x**2 + y**2 + 1) - 1)*cos(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1))/(x**2 + y**2 + 1)
对y的二阶偏导： (-x**4*cos(x**2*y) + 4*x**2*y*sin(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1) + 2*(4*y**2/(x**2 + y**2 + 1) - 1)*cos(x**2*y)/(x**2 + y**2 + 1))/(x**2 + y**2 + 1)