考虑优化问题：
$\begin{array}{ll} \min_x & f(x) \\\\ s.t. & c_1(x) = 0 \\\\ & c_2(x) \geq 0 \end{array}$

构造拉格朗日函数：
$L(x,\lambda) = f(x) -\lambda_1 c_1(x) - \lambda_2 c_2(x)$
等式约束的对偶变量 $\lambda_1$ 在拉格朗日函数中取正取负都行，但不等式约束的对偶变量 $\lambda_2$ 在这里只能取正（ $\lambda_2 > 0$ 或 $-\lambda_2 <0$）。

为什么呢？

因为只有这样，在可行域 $D=\{x| c_1(x) = 0, c_2(x) \geq0\}$ 内，原目标函数 $f(x)$ 是拉格朗日函数的一个上界，即
$\max_{\lambda} L(x,\lambda) = \left\{ \begin{array}{lr} f(x), & x \in D, \\ +\infty, & otherwise. \end{array} \right. \tag{1}$

所以原优化问题等价于：
$\min_x f(x) = \min_x \max_\lambda L(x,\lambda)$

从中可以看出拉格朗日函数的意义，把约束问题转化成了无约束问题。

因为可行域内的值永远小于可行域外的正无穷大，在求极小值的时候一定能保证结果在可行域内。