前言
最近闲来无事,刷刷题,碰到这样一个题目:
需求:要求实现一个判断素数的简单函数
相关信息:素数就是只能被1和自身整除的正整数。注意:1不是素数,2是素数。
输入:任意整数
输出:1——素数;0——非素数.
第一反应是将大于等于2的输入整数循环除以每个小于自身且大于1的整数,若余数为0,则为非素数。
再一想,这样做速度实在太慢,时间复杂度为
。故在网上水了一波,看看到底有没有更快速的算法。
解决方案
方案1
方案1,就是上述方法,代码如下:
int prime(int p)
{
if(p<=1)
{
return 0;
}
for(int i=2;i<p;i++)
{
if(p%i==0)
{
return 0;
}
}
return 1;
}
方案2
方案2是方案1的改进方案,该方案基于以下客观事实:一个数若可以进行因数分解,那么分解时得到的两个数一定是一个小于等于sqrt(n),一个大于等于sqrt(n),据此,上述代码中并不需要遍历到n-1,遍历到sqrt(n)即可,因为若sqrt(n)左侧找不到约数,那么右侧也一定找不到约数。
int prime(int p)
{
if(p<=1)
{
return 0;
}
for(int i=2;i<int(sqrt(p))+1;i++)
{
if(p%i==0)
{
return 0;
}
}
return 1;
}
上述算法时间复杂度为 .
方案3(最优算法)
和方案2一样,首先素数有这样一个规律:大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13等。
证明过程如下:
因此,我们将所有输入的大于等于5的数据以上述方式表示,将其除以6,若余数不为1,或者5,则直接证明其不是素数,剩下的进行判断:
int prime(int p)
{
if (p == 2 || p == 3)
{
return 1;
}
if (p % 6 != 1 && p % 6 != 5)
{
return 0;
}
for (int i = 5; i <= floor(sqrt(p)); i += 6)
{
if (p%i == 0 || p % (i + 2) == 0)
{
return 0;
}
}
return 1;
}
总结
算法3能极大降低运算量,提升运算速度。小小的问题,大大的智慧啊,感谢大神们,虽然我不知道是谁。