线性回归LR(Linear Regression)

传统的多变量线性回归可以表示成下面的形式：——狭义的线性回归
$f(X, \theta) = X \theta = \theta_0 + x_1 \theta_1 + x_2 \theta_2 + …… + x_n \theta_n \tag{公式1}$
这个模型的自变量是一次的，能解决的问题有很大的局限性，如果数据具有非线性的趋势，便不能得到很好的表达。将自变量扩展到高次的情况，便得到了多项式回归(拟合)。
$f(X, \theta) = X \theta = \theta_0 + \theta_1 x + \theta_2 x^2 + …… + \theta_n x^n = \phi (X) \theta \tag{公式2}$
其中 $\phi(X) = [1, x, x^2, ……, x^n], \theta = [\theta_0, \theta_1, \theta_2, ……, \theta_n]^T$，将 $\phi (X)$称为基函数，这里我们选用了多项式基函数。选用不同的基函数能解决更为广泛的问题。——广义的线性回归

代码展示(加噪声的正旋函数，狭义线性回归)

from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

X = np.linspace(0, 2 * np.pi, 50)
y = np.sin(X) + np.random.random(size=(50,))

lr = LinearRegression()
lr.fit(X.reshape(-1, 1), y)
y_pred_lr = lr.predict(X.reshape(-1, 1))

plt.scatter(X, y)
plt.plot(X, y_pred_lr)
plt.show()

支持向量机回归SVR(Support Vector Regression)

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支持向量机里面有核函数的概念，把数据映射到高维空间，隐式地应用了多项式，支持向量机回归能很好拟合非线性趋势。

代码展示(加噪声的正旋函数，支持向量机回归)

from sklearn.svm import SVR
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

X = np.linspace(0, 2 * np.pi, 50)
y = np.sin(X) + np.random.random(size=(50,))

svr = SVR()
svr.fit(X.reshape(-1, 1), y)
y_pred_svr = svr.predict(X.reshape(-1, 1))

plt.scatter(X, y)
plt.plot(X, y_pred_svr)
plt.show()

KNN回归(KNeighborsRegressor)

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非参数方法。

周围数据的平均值，默认用minkowski距离来选择最近的点。邻居数(n-neighbors)越大，越平滑(bias)；越小，越过拟合(vias)

代码展示(加噪声的正旋函数，KNN回归)

from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

X = np.linspace(0, 2 * np.pi, 50)
y = np.sin(X) + np.random.random(size=(50,))

knnr = KNeighborsRegressor()
knnr.fit(X.reshape(-1, 1), y)
y_pred_knnr = knnr.predict(X.reshape(-1, 1))

plt.scatter(X, y)
plt.plot(X, y_pred_knnr)
plt.show()

对比总结：

1. 狭义的线性回归不拟合非线性；
2. 支持向量机回归很好拟合非线性；
3. KNN可以拟合非线性(但不够平滑)。

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