前言

书中这部分讲的太快，并且未能和已有知识做足够的联系，乍看起来还是有点不好理解的。
但如果联系了实际的物理意义以及向量叉乘等已有知识后，就变得好理解了。
另外，推导公式的确有利于理解，作者或许也是为此才出的这些习题吧。
推导过程中用到的知识：
1、分块矩阵运算。
2、向量叉积性质，二重叉积、反交换律等。
文中推导，均是笔者手推，水平有限，如有纰漏，还望不吝赐教。

1、验证SO(3)、SE(3)和Sim(3)关于乘法成群。

（1）SO(3)为三纬旋转矩阵构成的特殊正交群。
根据群的定义（一种结合加一种运算），书中定义式式4.1可以表示集合，运算选择乘法；
将以上依次代入性质群性质1-4，性质12显然满足；选幺元为33单位阵 $I_{3\times3}$ ，性质34显然也满足；
（2）SE(3)为变换矩阵构成的特殊欧氏群。
根据群的定义，书中定义式式4.2表示群的集合，运算选择乘法；
性质1 显然。
性质2 矩阵的结合律也容易得到（可以展开看看，一目了然）。
性质3 选幺元为44单位阵 $I_{4\times4}$ ，显然满足。
性质4 根据分块矩阵求逆公式 $\begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ 0 & B^{-1} \end{bmatrix}$
令 $T^{-1}=\begin{bmatrix} R^{-1} & -R^{-1}t \\ 0^T & 1 \end{bmatrix}$ ，
显然 $T^{-1}$ 也属于SE(3)，并且 $TT^{-1}=I_{4\times4}$ ，于是性质4满足；
（3）仿照（2）很容易可以验证。

2、验证 $(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}, \times)$ 构成李代数。

将此李代数视为3维向量，利用向量相关性质，性质1-3均容易得到。
对于性质4，利用向量二重叉积公式，将下面三式相加，立得。
在这里插入图片描述
值得一提的是，向量点积结果为标量，满足交换律。

3、验证 $\mathfrak{so}(3)$ 和 $\mathfrak{se}(3)$ 满足李代数要求的性质。

（1） $\mathfrak{so}(3)$
先来看看其李括号是啥意思
在这里插入图片描述
根据上面的推导，结合问题2，性质1-4容易得到。
（2） $\mathfrak{se}(3)$
性质1-3容易得到，讨论性质4。
其中利用了（1）中所推导的李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 的李括号为矢量叉积。