Part 1R 函数、极限和连续

复习专题：函数、极限与连续

左右极限

几个形式相似的极限判定

\[\begin{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}x_n=a&\Leftrightarrow\lim\limits_{k\to\infty}x_{2k-1}=\lim\limits_{k\to\infty}x_{2k}=a;\\ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A&\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=A;\\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A&\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A; \end{aligned}\]

类似地，判断左右连续\(\Leftrightarrow\)连续，左右导数相等\(\Leftrightarrow\)可导。

• 例
  极限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}?\)

不存在，正负无穷处不相等。
数列极限的\(n\to\infty\)是\(+\infty,\)而函数极限要考虑两侧。

需要判断左右极限求极限的类型

• \(1^。\)（易于想到）分段函数在分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同，也包括带有绝对值的函数。
• \(2^。e^{\infty}\)型，如\(\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}，\lim\limits_{x\to0}e^{x}\)不存在。
• 例
  当\(x\to1\)时，函数\(\frac{x^2-1}{x-1}e^\frac{1}{x-1}\)的极限不存在且不为\(\infty\)，因为其左极限为0.
• \(3^。\arctan\infty\)型，如\(\lim\limits_{x\to0}\arctan\left(\frac{1}{x}\right),\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x\)不存在。

极限公式的一般形式

一定要有条件限制。比如\(\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin f(x)}{f(x)}=1\)要限制\(f(x)\)不为零。\(\color{#FF0000}{反例}\)取\(f(x)=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x},x=\frac{1}{n\pi}\)时，原极限无意义。

高等数学三种计算

求极限，求导数，求积分。从而我们用泰勒公式将一般函数变成多项式函数是一个伟大而有益的尝试。极大的简化了分析的难度。