1布朗运动及其定义
1.1定义
如果实随机过程
W={Wt,t≥0}满足:
-
W0=0(零初值)
-
∀s<t,Wt−Ws~
N(0,t−s)且相互独立(平稳独立增量)
-
Wt~
N(0,t)(一维正态分布)
我们称之为标准布朗运动。(这也是布朗运动的证明过程)
例一:
涉及增量的通用证明手段,构造增量,利用增量的独立性
例二
容易出的问题是说明每一个
Wtn满足正态分布,但是独立性却无法得到保证
1.2数字特征
设
W=Wt,t≥0是标准布朗运动,则
mw(t)=0,Dw(t)=t,t≥0
Rw(s,t)=Cw(s,t)=min(s,t),s,t≥0
1.3性质
设
W=Wt,t≥0是标准布朗运动,则W具有:
- 对称性
即
−W也是标准布朗运动
证明:
- 自相似性
即对任意常数a>0固定的t>0,有
Wat=a1/2Wt
证明:
- 时间逆转性
即对固定的T>0,定义:
Bt=WT−WT−t 0≤t≤T,则
B={Bt 0≤t≤T}也是标准布朗运动(称为W的时间逆转过程)
2与布朗运动有关的随机过程
2.1n-维标准布朗运动
设
Wk={Wtk,t≥0},k=1,2,...,n是标准布朗运动,如果
W1,...,Wn相互独立,则称
(W1,...,Wn)是n-维标准布朗运动
2.2
(μ,σ2)-布朗运动
设
μ∈R,σ>0,定义
Btμ,σ2=μt+σWt,称随机过程
Bμ,σ2={Btμ,σ2,t≥0}为
(μ,σ2)-布朗运动
2.2.1计算
(μ,σ2)-布朗运动的均值函数和相关函数
2.2.2验证
(μ,σ2)-布朗运动是正态过程
2.3布朗桥
对任意的
t∈[0,1],定义
Btbr=Wt−tW1,则称随机过程
Bbr={Btbr,t≥0}为0到0的布朗桥
2.3.1求布朗桥的均值函数和相关函数
2.3.2验证布朗桥是正态过程
验证正态过程可以选标准布朗运动差值,也可以选标准布朗运动的几个时刻,这都是被证明是正态过程的过程,可以乘矩阵来证明别的过程是正态过程
例题: