1布朗运动及其定义

1.1定义

如果实随机过程 $W=\{W_t,t\geq0\}$满足:

1. $W_0=0$(零初值)
2. $\forall s<t,W_t-W_s$~ $N(0,t-s)$且相互独立（平稳独立增量）
3. $W_t$~ $N(0,t)$（一维正态分布）

我们称之为标准布朗运动。(这也是布朗运动的证明过程)

例一：

涉及增量的通用证明手段，构造增量，利用增量的独立性

例二

容易出的问题是说明每一个 $W_{tn}$满足正态分布，但是独立性却无法得到保证

1.2数字特征

设 $W={W_t,t\geq0}$是标准布朗运动,则
$m_w(t)=0,D_w(t)=t,t\geq0$ $R_w(s,t)=C_w(s,t)=min(s,t),s,t\geq0$

1.3性质

设 $W={W_t,t\geq0}$是标准布朗运动,则W具有：

1. 对称性
   即 $-W$也是标准布朗运动
   证明：
   
2. 自相似性
   即对任意常数a>0固定的t>0，有 $W_{at}=a^{1/2}W_t$
   证明：
   
3. 时间逆转性
   即对固定的T>0，定义: $B_t=W_T-W_{T-t}\ \ 0\leq t\leq T,$则 $B=\{B_t\ \ 0\leq t\leq T\}$也是标准布朗运动（称为W的时间逆转过程）
   

2与布朗运动有关的随机过程

2.1n-维标准布朗运动

设 $W^k=\{W_t^k,t\geq 0\}，k=1,2,...,n$是标准布朗运动，如果 $W^1,...,W^n$相互独立，则称 $(W^1,...,W^n)$是n-维标准布朗运动

2.2 $(\mu,\sigma^2)$-布朗运动

设 $\mu\in R,\sigma>0,$定义 $B^{\mu,\sigma^2}_t=\mu t+\sigma W_t,$称随机过程 $B^{\mu,\sigma^2}=\{B^{\mu,\sigma^2}_t,t\geq 0\}$为 $(\mu,\sigma^2)$-布朗运动

2.2.1计算 $(\mu,\sigma^2)$-布朗运动的均值函数和相关函数

2.2.2验证 $(\mu,\sigma^2)$-布朗运动是正态过程

2.3布朗桥

对任意的 $t\in [0,1],$定义 $B_t^{br}=W_t-tW_1,$则称随机过程 $B^{br}=\{B_t^{br},t\geq 0\}$为0到0的布朗桥

2.3.1求布朗桥的均值函数和相关函数

2.3.2验证布朗桥是正态过程

验证正态过程可以选标准布朗运动差值，也可以选标准布朗运动的几个时刻，这都是被证明是正态过程的过程，可以乘矩阵来证明别的过程是正态过程
例题：