CF724G Xor-matic Number of the Graph

一、题目

点此看题

二、解法

建议做一做这道题

先考虑一个生成树,设到根的异或和是 d [ u ] d[u] ,简单路径就是 d [ u ] d [ v ] d[u]\oplus d[v] ,我们考虑每一位上的贡献,就考虑 d [ u ] d [ v ] d[u]\oplus d[v] j j 位上的值叫初值,我们考虑线性基怎么选才能最后得到 1 1

其实我们只能枚举 d [ u ] d[u] ,但我们知道产生初值对应的 d [ v ] d[v] 有多少个,我们来分类讨论一波:

  • 首先就是 d [ u ] d[u] 那一位是 1 1 ,线性基里面那一位也有 1 1 ,考虑 v v 这个点随便选,与之对应的线性基就有 2 c n t 1 2^{cnt-1} 种选法(那一位出现次数是奇数还是偶数,都是这么多),那么贡献是 2 c n t 1 × ( p 1 ) × 2 j 2^{cnt-1}\times (p-1)\times 2^{j} ,其中 p p 是总点数。
  • d [ u ] d[u] 那一位是 1 1 ,线性基里面那一位没有 1 1 ,选 v v 当前位是 0 0 (设这个个数为 y y ),则贡献为: 2 c n t × y × 2 j 2^{cnt}\times y\times 2^j
  • d [ u ] d[u] 那一位是 0 0 ,线性基里面那一位有 1 1 ,类比第一种情况。
  • d [ u ] d[u] 那一位是 0 0 ,线性基里面没有 1 1 ,类比第二种情况,必须选一个带有 1 1 v v

时间复杂度 O ( n × 60 ) O(n\times 60) ,最后还要除以 2 2 (点对会被算两次)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define int long long
const int jzm = 1e9+7;
const int M = 100005;
int read()
{	
	int x=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
	while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*flag;
}
int n,m,k,tot,cnt,ans,f[M],a[M],d[M],p[70],pw[M];
bool vis[M];
struct edge
{
	int v,c,next;
	edge(int V=0,int C=0,int N=0) : v(V) , c(C) , next(N) {}
}e[4*M];
void ins(int x)
{
	for(int i=60;i>=0;i--)
	{
		if(!(x>>i)) continue;
		if(!p[i]) {p[i]=x;break;}
		x^=p[i];
	}
	if(x) cnt++;
}
void dfs(int u)
{
	vis[u]=1;a[++k]=d[u];
	for(int i=f[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].v,c=e[i].c;
		if(!vis[v]) {d[v]=d[u]^c;dfs(v);}
		else ins(d[v]^d[u]^c);
	}
}
void calc()
{
	for(int j=60;j>=0;j--)
	{
		int x=0,y=0,fl=0;
		for(int i=1;i<=k;i++)
			if(a[i]&(1ll<<j)) x++;
			else y++;
		for(int i=1;i<=60;i++)
			if(p[i]&(1ll<<j)) fl=1;
		for(int i=1;i<=k;i++)
			if(a[i]&(1ll<<j))
			{
				if(fl) ans=(ans+pw[cnt-1]*(k-1)%jzm*pw[j]%jzm)%jzm;
				else ans=(ans+pw[cnt]*y%jzm*pw[j]%jzm)%jzm;
			}
			else
			{
				if(fl) ans=(ans+pw[cnt-1]*(k-1)%jzm*pw[j]%jzm)%jzm;
				else ans=(ans+pw[cnt]*x%jzm*pw[j]%jzm)%jzm;
			}
	}
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read(),c=read();
		e[++tot]=edge(v,c,f[u]),f[u]=tot;
		e[++tot]=edge(u,c,f[v]),f[v]=tot;
	}
	pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		pw[i]=pw[i-1]*2%jzm;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i])
		{
			memset(p,0,sizeof p);
			k=cnt=0;
			dfs(i);
			calc();
		}
	int inv=500000004;
	printf("%lld\n",(ans*inv)%jzm);
}
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