前言：

串就是我们所说的字符串，计算机对数据的处理主要包括数值计算和非数值计算，在计算机发展的早期，数值计算比较普遍，然而随着社会的发展和计算需求的发展，在计算机上做非数值处理的计算越来越多，而在计算机上非数值处理大部分是对字符串的处理，处理这些字符串数据比起处理整型、浮点型数据都要复杂很多，所以把串作为一种独立的数据结构进行研究。

一.串导学

1.课程结构

（概述）
第1章 数据结构、ADT、算法

（基础）
第2章 线性表
第3章 栈和队列
第4章 字符串
第5章 数组与广义表
第6章 树和二叉树
第7章 图

（应用）
第9章 查找
第10章 内部排序
第11章 外部排序

2.知识点搜索

字符串还是一种线性结构，它的存储也有顺序和链式两种结构实现，它的操作和线性表的c操作也是相同的，但是它的这些操作是针对字符串所特有的一些操作，所以我们只是简单的讨论一下串特有的逻辑结构以及操作的实现。

3.串也是一种数据结构

在c/c++中我们也了解过字符串了，但是在那里更像是一种数据类型，而在这我们是当做数据结构。

串是一种特殊的线性表，特殊在：
（1）数据元素都来自字符集！
也就是说串中每一个元素的数据类型都是字符型的，他的数据对象是字符集。
（2）由于数据元素特殊，它的操作有些不同于一般线性表。
例如：操作对象一般是子串（即一组数据元素），而不是单个数据元素

4.串的应用

串的应用是十分广泛的
比如：搜索引擎中的字符串查找匹配、文字处理软件wps office、生物信息处理等等，这些实际上都是对字符串进行处理。

5.带着问题去学习

数据结构中的“串” 和C/C++中的“串” 有何区别？
串与线性表的关系？
“串” 这种数据结构的作用？
掌握：
1.串的特点（与线性表的区别）
2.模式匹配算法（BF，KMP）

二.串的基本概念

1.串的定义

由零个或多个字符组成的有限序列

还要了解几个定义：
（1）空串：含零个字符的串称为空串，用Ф表示。
空串是可以存在的，一定要区分开空串和空格串，空格串是指一个字符串是空格的。
（2）串长：串中所含字符的个数称为该串的长度（n）
（2）串的表示：S=“a1a2…an” ，每个ai（1≤i≤n）代表一个字符。

例子：

2.串的操作

操作：（与线性表同的略。因为字符串是一种特殊的线性结构，所以也有与线性表相同的操作，在此省略）

（1）串相等：当且仅当两个串的长度相等并且各个对应位置上的字符都相同，称两个串相等。
例如，“abc”与“abc”相等，“abc”和“acb”不相等，“abc”和“a bc”不相等

（2）子串：一个串中任意个连续字符组成的子序列（含空串）称为该串的子串。
例如，“a”、“ab”、“abc”和“abcd”等都是“abcde”的子串

（3）真子串：是指不包含自身的所有子串。
（注意是 所有 并且不包含自身）
例：“abcde”有多少个真子串?
15个，（注意空串也算是一个子串）
推广：n(n+1)/2个（利用数学上的等差数列求和即可得出）

（4）空串也是一个子串

3.串的基本操作

串的很多操作都是在子串的基础上进行操作的

（1）串插入操作
StrInsert(S,pos,T)：在串S的位置为pos的字符之前插入串T

示例： S=“Beig”,
T = “jin”
则执行StrInsert(S,4,T)后
S=“Beijing”,

（2）串删除操作
StrDelete(S,pos,len)：从串S中删除位置为pos的字符起长度为len的子串

示例： S=“Beijing”,
则执行StrDelete(S,4,3)后
S=“Beig”,

（3）串链接、求子串、串替换等

4.串与线性表的关系

（1）相同点：

数据元素都来自字符集
操作对象是子串
基本操作：模式匹配

（2）区别：

一般线性表
逻辑结构：一对一
存储结构：顺序表、链表
运算规则：随机、顺序存取
操作对象：单个元素

串
逻辑结构：一对一
存储结构：顺序串、链式串
运算规则：随机、顺序存取
（串相等、模式匹配）
操作对象：子串

三.模式匹配

（模式匹配是串的重要操作）

1.串的模式匹配

（1）定位：
（串的模式匹配又叫做定位，即在主串T中找是否存在子串P）
①设有主串T和子串P，
②在主串T中找到第一个与子串P相等的子串的位置（第一次出现的位置）
（这个位置当然是子串在主串中出现的第一个字符的位置，然后把这个位置返回）。

（2）目标串：主串 T
（3）模式串：子串 P
（在模式匹配中我们通常把目标串叫做主串，用T表示，同理，模式串为子串，用P表示）

（4）结果：
①模式匹配成功：在目标串T中找到一个模式串P；
②模式匹配不成功：目标串T中不存在模式串P。

示例：
目标 T : “Beijing”
模式 P : “jin”
匹配结果 = 3
（3呢，就是子串在主串中的位置，当然在这里是从下标为0开始计算的，也可以从1开始计算，那就是4了，是比较灵活的）

2.模式匹配的应用

• 自然语言处理：信息检索
• 生物信息处理：DNA匹配
• 语音识别：输入的语音符号化
• 网络安全：病毒入侵检测

（以上几块领域在计算机数据处理中应用很大，可见模式匹配的重要性）

3.模式匹配的作用

（以我们此次的疫情生物病毒举例）
（1）研究者将人的DNA和病毒DNA均表示成由一些字母组成的字符串序列。
（2）然后检测某种病毒DNA序列是否在患者的DNA序列中出现过，如果出现过，则此人感染了该病毒，否则没有感染。
（3）例如：
假设病毒的DNA序列为baa，
患者1的DNA序列为aaabbba，则感染，
患者2的DNA序列为babbba，则未感染。
（注意，人的DNA序列是线性的，而病毒的DNA序列是环状的)

四.BF算法

1.模式匹配算法

（模式匹配算法我们只学习BF算法和KMP算法，当然还有别的模式匹配算法）

（1)BF算法
①最简单、最易理解 （我们通常又把它叫做简单模式匹配算法）
②采用回溯法 （在学习c语言时其实用到过）
（2）KMP算法
（3）BM算法
（4）KR算法
（5）……

2.算法过程

（1）采用回溯法：
①从主串的第i个位置开始，与子串的每个字符逐个比较，若均相等，则找到，位置为i；
②否则，即在某个位置出现了不等，则说明从该起点开始的子串不是模式串，换一个新起点(第i+1个位置)，重新开始，继续逐一比较，
③直到找到，或i>=Length(T)为止。

（2）例子：
（在这个例子中起始位置从0开始计算的）
用指针i指向主串T，指针j指向子串P

（3）特点:回溯
每趟的：
①主串回溯到上次起点的下一个位置；
②子串（模式串）回到0

3.算法执行

（1）Index(T,P,pos)
①将主串的第pos个字符和模式的第一个字符比较，若相等，继续逐个比较后续字符；若不等，从主串的下一字符起，重新与模式的第一个字符比较。
②直到主串的一个连续子串字符序列与模式相等 。返回值为T中与P匹配的子序列第一个字符的序号，即匹配成功。
③否则，匹配失败，返回值 0

（2）代码实现

（这个算法不难，注意我们在这是用的下标从1开始的位置）

int Index(Sstring T,Sstring P,int pos) //T代表主串，p代表子串，pos代表从主串的哪个位置开始找 
{
	i=pos;  //i的初值是pos 
	j=1;    //j的初值是1 ，这里是从下标为1开始计算的 ，前面的例子是从0开始计的 
	while(i<=T.len&&j<=P.len)     //即主串没到头并且子串没到头就循环 
	{
		if(T.data[i]==P.data[j])   //如果两个串开始有相等的 
		{
			++i;          //i++ 主串向后移 
			++j;          //j++  子串向后移 
		}
		else          //否则的话就是不等了 ，就要回溯 
		{               
			i=i-j+2;    //i-j+2代表i要回溯的那个位置 ，主串回溯到上次起点的下一个位置，如果从0开始计的话，那么为i=i-j+1 
			j=1;        //j回溯到1，如果从0开始计的话，j=0； 
		}
	}
	if(j>P.len)         // 如果j往后走的过程中超过了P子串的长度，即匹配全部成功的话 
		return i-P.len;     //代表i在这一次匹配过程中它最先出发的那个点 下标 位置 
	else
		return 0;
}

（3）为什么主串回溯的位置是i-j+2？

4.算法复杂度分析

若n为主串长度，m为子串长度

（1）最好情况复杂度：O(m)
目标串的前 m 个字符正好等于模式串的 m 个字符。

例：若n为主串长度，m为子串长度
S=‘0001000001’，
T=‘0001’，
pos=1

（2）最坏情况复杂度：O(nm)
每次到最后一个字符才发现不匹配，这时再“倒回去”进行比较
比较次数：m(n-m)（n-m个各比较了m次）

例：若n为主串长度，m为子串长度
S=‘0000000001’，
T=‘0001’，
pos=1

（3）算法评价
算法简单，易于理解，但效率不高。

五.KMP算法

BF算法虽然简单好理解，但是效率却不高，接下来的是改进的模式匹配算法，叫做kMP算法。

1.来源

由以下三人同时发明的算法，因此给它起名字为KMP算法，
D.E.Knuth
J.H.Morris
V.R.Pratt
其中D.E.Knuth（唐纳德·克努特）被人们成为算法和程序设计的先驱者，他有一套经典的著作是计算机程序设计艺术，这套艺术被誉为算法中真正的圣经。
《计算机程序设计艺术 第1卷 基本算法》
《计算机程序设计艺术 第2卷 半数值算法》
《计算机程序设计艺术 第3卷 排序与查找》
他曾经说过：B-F算法中，匹配失败后不必完全从头再来（不必回溯)，找到可以利用的信息，跳跃性匹配……
那么kmp算法就是他所说的改进的模式匹配算法。

2.发现BF算法的改进点

（1）BF算法：
当比较到某个位置不匹配时，不管什么情况，都进行回溯！回溯到该次比较的起始点的下一个位置，算法效率低。


（2）KMP算法改进：
在匹配失败时，主串中的指针i不需要回溯，而是在模式中找出适当的字符继续比较，以此提高效率

利用已经部分匹配这个有效信息，保持i指针不回溯，通过修改j指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。
（已经部分匹配是指子串前面已经有几个字符匹配好了）

（3）有效：i不回溯，j要从哪里开始？

通过next函数找到j要移动的位置k
（通过一个自己编写的函数找到下一次要移动的位置)

3.KMP算法要解决的两个问题

（1）如何根据失败函数进行比较？

失败函数：匹配失败时，通过next函数求得当前匹配失败点的位置 j 所对应的移动位置 k

例：假设：失败函数已经建立

总结KMP算法：
模式 P 的第 j 位失配时：
①若 j > 0，下一趟比较时模式串 P的起始比较位置是P[next(j)]，目标串 T 的指针不回溯
（j>0时，j=next(j); i不动）
②若 j = 0，则目标串 T指针进一，模式串P 指针回到 0
（j=0时，j=0; i++）

（2）next函数如何求得？

匹配不成功的那一刻，T[i]!=P[j]，但： ‘P0P1…Pj-1’=‘Ti-j+1,Ti-j+2…Ti-1’
假设下一步与模式中第k(k<j)个字符比较，则模式中前k-1个字符必须满足： ‘P0P1…Pk-1’=‘Pi-k+1,Pi-k+2…Pi-1’
于是得出：
‘P0P1…Pk-1’=‘Pj-k+1,Pj-k+2…Pj-1

4.KMP算法的时间复杂度

（1）设主串T的长度为 n，模式串P长度为 m；
（2）求next数组的时间复杂度为 O(m)；
（3）匹配中因主串T不回溯，比较次数可记为n,
（4）所以KMP算法总的时间复杂度为 O(n+m)。

5.模式匹配算法比较

（1）BF算法
①最简单、最易理解
②采用回溯法
（2）KMP算法
①效率较高，可提速到O(n+m)
②主串指针不回溯

6.next函数的改进

例子：

（1）提出问题：
next[j]=k 即 Ti 与 Pj 比较不相等时，继续与 pk 比较，但是若 pk=pj 显然肯定还要失败，所以 next[j] 可以改进。

（2）改进：
next[j] = k，如果Pj=Pk，则 主串中Ti和Pj不等，不需再和pk进行比较，而直接和pnext[k]进行比较。

（3）如何求nextnal：
比较P[j]和P[k]，
若不等，则 nextval[j]=k（next[j]）；
若相等，nextval[j]=nextval[k]；

六.总结

1. 串数据结构的特点：

 重点掌握：数据对象限定了字符集，操作对象是一组数据元素

2. 模式匹配算法：BF、KMP

 重点掌握：熟悉next[j]函数的定义,会算next[j]和改进的nextval[j]。