0x05.归纳
1.数学归纳法
- 数学归纳法证明问题的核心思想:【证明初始值成立,假设对任意的k成立,利用这个假设的条件去证明对任意的k+1也成立】
2.强归纳法(第 2 数学归纳法)
0x06.递归
- 对象部分地由自己所组成
- 对象根据自己进行定义
- 注意:递归定义的函数是良定义的,对每个正整数,函数值的计算方式是确定的一定能用递归定义中的某一公式进行计算(不是初始条件,就是递归方程)。
结构归纳法:
0x07.计数
1.相关概念
- 组合数学:研究安排个体的方式、数量。
- 计数:具有确定性质的个体的数量。
2.计数原则
-
乘积法则:串行任务的组合方式个数。
- 任务 T1, T2, …, Tm 顺序执行,任务 Ti 有 ni 种完成方式,所有任务全部执行完成的方式总个数=n1×n2×…×nm。
-
求和法则:并行任务的组合方式个数。
- 任务 T1, T2, …, Tm 顺序执行,任务 Ti 有 ni 种完成方式,任何两项任务不能同时进行,所有任务全部执行完成的方式总个数=n1+n2+…+nm。
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减法法则(容斥原理):
-
除法法则:
3.鸽巢原理
- 鸽巢原理(抽屉原理):设有若干盒子(个数 = k)、若干物体(个数 = N ≥ k+1),,则至少有 1 盒子中物体个数 ≥ 2。
4.排列与组合
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排列:一组个体的一个有序安排【离散对象序列的排放】。
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r-排列:一个集合中 r 个元素的有序安排。
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n 个不同元素的集合 A 的 r-排列数:
P(n, r)=n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=n! / (n-r)!
-
-
组合:一组个体的无序选取【离散对象集合的选取】。
- r-组合:集合 A (n 个元素)中无序选 r 个(r<=n)由 r 个元素组成的子集。
- n 元素集合 A 的 r-组合数。记为 C( n, r ):
- P (n, r)=C (n, r)•P (r, r)
- 设 n 和 r 是满足 r≤n 的非负整数,那么 C(n, r) = C(n, n-r)。
-
r-可重排列: 集合 A(元素个数=n)中可重复地选 r 个(r<=n)元素的排列。
- n 元素集合 A 的 r-可重排列数 = n^r
-
r-可重组合: 集合 A(元素个数=n)中可重复地选 r 个(r<=n)元素的组合。
- n 元集合 A 的 r-可重组合数=C(n-1+r, r)
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n-限重排列: 在 k 元素集合 A 中允许重复选(重复次数分别为 n1、n2、…、nk,且n1+n2+…+nk=n),从 A 中选出 n 个元素的排列。
- k 元集合的 n-限重排列数=n!/(n1!n2!…nk!)
0x08.递推关系
-
定义:序列 {an} 的递推关系是一个把 an 与序列中前面的一项或多项(即 a0, a1, …, an-1)联系起来的一个等式
- 序列的初始条件:说明了在递推关系起作用的首项之前的那些项的值。
- 给定递推关系和适当的初始条件能够唯一确定一个序列。
- 如果有一个序列的项满足递推关系,那么这个序列就叫做递推关系的解。
1.求解线性递推关系:
求解常系数线性齐次递推关系:
求解常系数线性非齐次递推关系:
2.分治算法:
0x09.容斥原理
- 容斥原理:计算有限个有限集的并集的元素个数。
- 三个集合的容斥原理:
- 容斥原理的另一种形式:
0x0A.关系
-
关系是一种数学描述工具
- 个体/对象/物质 之间通常存在关系.
- 关系是函数的推广,函数是特殊的关系
1.有序对和无序对
- 无序:可以交换顺序,记为 [a,b]。
- 有序:不能交换顺序,记为 (a,b) 。
2.二元关系
3.关系的表示
- 枚举:枚举出关系R的所有元素。
- 构造定义:定义R的构造方法。
- 表格:用表格表示R的元素关系。
- 矩阵表示:【不直观,易计算机实现】
- 有向图表示:【直观,计算机实现难】
4.二元关系的性质
- 自反:
- 反自反:
-
自反与反自反的关系:
- 互斥,但不互补。
- 互斥:自反、反自反不能同时存在。
- 不互补:自反、反自反可以同时不存在。
- 互斥,但不互补。
-
对称:
-
反对称:
- 对称与反对称的关系: 不互斥,也不互补,可以同时存在、也可以同时不存在。
- 传递:
5.关系的运算
- 关系的集合运算:
- 关系的合成:
- 关系的幂:
6.闭包
闭包
自反闭包
对称闭包
传递闭包
7.等价关系
等价关系:
等价类:
划分:
- 集合 S 上有等价关系 R。则 R 的等价类构成 S 的划分,S 上的任一划分,必有 S 上的一个等价关系 R与之对应
8.偏序
偏序关系:
偏序集:
全序关系:
全序集:
偏序与全序的区别:
良序集:
9.Hasse图
- 例如:
-
一般来说,有限集用 Hasse 图比较好
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可列集只能画示意图
-
不可列无限集是没法表示的,因为任二个数之间一定还有别的数
10.极大元与极小元
- 最大(小)元是 A 的一个上(下)界
- 上(下)界可以不唯一,也可以不存在
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上确界:最小上界
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下确界:最大下界
-
若存在上(下)确界,则上(下)确界是唯一的
-
如果一个偏序集的每对元素都有最大下界(下确界)、最小上界(上确界),则称这个偏序集为格