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题意: 给你n对数,有一个x,x%m[1]=a[1],x%m[2]=a[2]…x%m[n]=a[n],求x的最小整数解。(保证所有m[i]两两互质)
crt(中国剩余定理) 对于x%m1=a1,我们可以转化成
x+m1*y=a1 ①
我们令M=m[1] * m[2] * m[3]…* m[n],t=M/m[1],因为m[i]两两互质,所以有t与m[1]互质,由裴蜀定理,
t * w+m[1] * z=1 ②
所以有 t* w≡1(mod m[1]),即w是t在mod m[1]意义下的逆元。我们把式子t * w+m[1] * z=1 两边同时乘a[1],得到 t * w * a[1]+m[1]z a[1]=a[1],与①比较,因为y和z* a[1]是不定的,我们可以把z * a[1]看做y,即twa[1]+m[1]*y=a[1],再次对比①,我们发现x=t wa[1]。然后我们发现一共有n个式子,所以我们把n个式子加起来,最后对M取模就是最小的正整数解了。
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define null NULL
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ll long long
#define int long long
#define vi vector<int>
#define mii map<int,int>
#define pii pair<int,int>
#define ull unsigned long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ct cerr<<"Time elapsed:"<<1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC<<"s.\n";
char *fs,*ft,buf[1<<20];
#define gc() (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=gc();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=gc();}
return x*f;}
using namespace std;
const int N=2e5+5;
const int inf=0x7fffffff;
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-6;
int m[N],a[N],k;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{x=1;y=0;return ;}
exgcd(b,a%b,x,y);
int t=y;
y=x-a/b*y;
x=t;
}
int crt()
{
int M=1,ans=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
M*=m[i];
for(int i=1;i<=k;i++)
{
ll mi=M/m[i],x,y;
exgcd(mi,m[i],x,y);
ans=(ans+a[i]*x*mi)%M;
}
return (ans+M)%M;
}
signed main()
{
cin>>k;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
cin>>m[i]>>a[i];
}
int res=crt();
cout<<res<<endl;
}