命题
设 \(f(x)\) 是多项式。若 \(f(A)=O\)，则 \(A\) 的特征值均是 \(f(x)=0\) 的根。
证明
对 \(A\) 的特征值 \(\lambda_0\) 和特征向量 \(\eta, \eta\ne \theta\)，有
\[A\eta = \lambda_0\eta \]
\[A^2\eta = A(\lambda_0\eta)=\lambda_0A\eta=\lambda_0^2\eta \]
推广到
\[A^k\eta=\lambda_0^k\eta \]
再推广，对多项式 \(\varphi\)，有
\[\varphi(A)\eta = \varphi(\lambda_0)\eta \]
取 \(\varphi = f\)，由于 \(\eta\ne 0\)，则
\[f(A)\eta = O \Rightarrow f(\lambda_0)=0 \]
说明：这个定理的逆定理不成立。
题目
已知 \(A^2=A\). 证明：\(A\) 的特征值只能是 \(0\) 或 \(1\)。
解答
根据上面的命题可知，\(A\) 的特征值应满足 \(\lambda_0^2 = \lambda_0\)，因此 \(\lambda_0\) 只能是 \(0\) 或 \(1\)。
需要说明的是，\(A\) 的特征值可能是 \(0\)，比如取 \(A=O\)；也可能是 \(1\)，比如取 \(A=I\)；也可能 \(0\)、\(1\) 均有。但不会有 \(0\) 和 \(1\) 之外的其他值。