这里展示的证明是基于傅立叶变换的特定形式。如果傅里叶变换的形式不同,则推导中将会增加一些常数因子。
令f、g属于L1(Rn)。{\displaystyle F}为{\displaystyle f}的傅里叶变换,{\displaystyle G}为{\displaystyle g}的傅里叶变换:
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{\displaystyle F(\nu )={\mathcal {F}}\{f\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x}
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{\displaystyle G(\nu )={\mathcal {F}}\{g\}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,\mathrm {d} x,}
其中x和ν之间的点表示Rn上的内积。
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{\displaystyle h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} }f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.}
现在发现,
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{\displaystyle \int \!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.}
因此,通过富比尼定理我们有{\displaystyle h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})},于是它的傅里叶变换{\displaystyle H}由积分式定义为
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{\displaystyle {\begin{aligned}H(\nu )={\mathcal {F}}\{h\}&=\int _{\mathbb {R} }h(z)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\\&=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz.\end{aligned}}}
观察到{\displaystyle |f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }|=|f(x)g(z-x)|},因此对以上变量我们可以再次应用富比尼定理(即交换积分顺序):
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{\displaystyle H(\nu )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }\,dz\right)\,dx.}
代入 {\displaystyle y=z-x}; {\displaystyle dy=dz}
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{\displaystyle H(\nu )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \nu }\,dy\right)\,dx}
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{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\left(\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy\right)\,dx}
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{\displaystyle =\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\,dx\int _{\mathbb {R} }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }\,dy.}
这两个积分就是{\displaystyle F(\nu )}和{\displaystyle G(\nu )}的定义,所以:
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{\displaystyle H(\nu )=F(\nu )\cdot G(\nu ),}