1. 坐标定义
假设V是Rn的一个子空间,V的一组基为:
且
此时,我们称常数
为向量a在基B下的坐标:
我们原来一直说的坐标为向量在标准基下的坐标,例如,R2的标准基为:
向量在基S下的坐标称为标准坐标
标准坐标和非标准坐标只是相同向量的不同表示方式
2. 基变换矩阵
假设基B构成的矩阵为C:
此时,矩阵C称为基变换矩阵,向量a称为标准坐标。
3. 标准坐标和非标准坐标的互相转换
如果基变换矩阵可逆,那么标准坐标和非标准坐标就可以互相转换
4. 标准基底的变换矩阵与非标准基底的变换矩阵的互相转换
假设:
其中,A为标准基底下的变换矩阵,D为非标准基底B下的变换矩阵,C为基底B构成的基变换矩阵,则:
证明:
5. 为什么要改变基底
线性代数是一门选择合适基底的艺术,选择合适的基底,计算会变得简单很多