1. 函数可逆的两个条件隐含的几何意义
假设:
“一对一”等价于“A的零空间是平凡的”,等价于“A的列向量集合是线性无关的”,等价于“A的秩等于n”,因此m=n,即矩阵A必须是个方阵,且矩阵A的行简化阶梯型为n*n的单位矩阵
2. 逆矩阵是线性变换
如果T是线性变换,且T可逆,那么T逆也是一个线性变换。看起来没什么,但其实这个结论非常重要,因为T逆是线性变换,因此T逆可以用一个矩阵向量乘积来表示。
证明:
证明完毕
3. 为什么“高斯消去法”可以求出逆矩阵
1. 行变换(行运算)等价于矩阵列向量的线性变换,证明过程如下:
假设:
如果要把A变为行简化阶梯型,
第一步:行1不变,行2加行1的结果代替行2,行3不变
相当于三个列向量
分别执行下面的线性变换
将线性变换用矩阵向量积来表示:
即第一步等价于
因此,行变换等价于矩阵列向量的线性变换
第二步:行1不变,行2不变,行3减行1的结果代替行3
最终,当把矩阵变成行简化阶梯型时,如果行简化阶梯型是单位矩阵,那么:
因此:
2. 为什么“高斯消去法”可以求出逆矩阵
高斯消去法的数学表示:
当增广矩阵的左边变成单位矩阵时,增广矩阵的右边:
因此,高斯消去法可以求出逆矩阵