1.对域的概念理解[2]:
-
n个单位元相加=0,符合这样条件的域称为特征为
n的域,而我们比较熟悉的数域单位元是1,无论多少个单位元1相加都不可能为0,所以数域是特征为0的域,一般强调特征为2的域就是说两个一样的数相加等于0的时候,不能直接认为这两个数等于0,因为在特征为2的域上两个单位元相加也是0[3]
2.环:
具有两种运算:加法(+)和乘法,满足以下条件成立:
-
对于加法构成一个交换群
-
(结合律)对任意的
a,b,c∈R,有
(ab)c=a(bc);
-
(分配律)对任意的
a,b,c∈R,有
(a+b)c=ac+bcand a(b+c)=ab+ac
但是对乘法并没有交换律,满足交换律的叫做交换环:
ab=ba
3.同态的相关概念[1]
那么满射和函数之间是很类似的,之间的区别就是当函数在定义域到值域的时间就是满射,其他之外的情况就属于满射,而单射是属于那种一对一的情况
4.特征(关键核心内容)
设
R是一个环,如果存在一个最小整数
p使得对任意
a∈R,都有
pa=a+...+a=0,那么就称环的特征为
p,如果不存在这样的正整数,则称环
R的特征为0。
4.1同态定义
设
R,R′是两个环,称映射
f:
R→R′为环同态,如果
f满足以下条件:
-
∀a,b∈R;exist f(a+b)=f(a)+f(b)
-
∀a,b∈R;exist f(ab)=f(a)f(b)
如果
f映射是一对一的,那么
f就是单同态,如果是满射,那么就是满同态,如果一一对应的,两个环一样,那么就是同构。
4.2两个定理
- 定理1
- 如果域
K的特征不为0,则其特征必为素数
- 定理2
- 如果域
K的特征不为0,则其特征必为素数
- 设
R是有单位元的交换环,如果环R的特征是p,则:
-
∀a,b∈R;exist (a+b)p=ap+bp
- 环
R到自身的映射
σ:a↦ap
- 相关证明如下:
参考文章
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1.单射百度百科
2.信息安全数学基础.陈恭亮.10.1环&&10.3特征及素域
3.通俗的语言讲讲特征为2的域与特征不为2的域呀