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若随机变量
X服从参数为
p的几何分布, 则有
Pr(X=k)=(1−p)kp
其中
k=0,1,⋯
-
E(X)=p1−p
证明:
E(X)=∑k=0+∞kPr(X=k)=∑k=0+∞k(1−p)kp
=p(1−p)∑k=0+∞k(1−p)k−1
令
q=1−p, 则有
∑k=0+∞k(1−p)k−1
=∑k=1+∞kqk−1
=[∑k=1+∞qk]′
=[1−qq]′
=p21
∴E(X)=p(1−p)⋅p21=p1−p
-
Var(X)=p21−p
证明:
令
q=1−p, 则有
E(X2)=∑k=0+∞k2pqk
=pq∑k=1+∞k2qk−1
=pq(∑k=1+∞k(k+1)qk−1−∑k=1+∞kqk−1)
=pq((∑k=1+∞qk+1)′′−p21)
=pq((1−qq2)′′−p21)
=pq(p32−p21)
=p22q−pq
∴Var(X)=E(X2)−μ2
=p22q−pq−p2q2
=p2q=p21−p