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题解
我参考了这篇题解:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/10649150.html
设长度为 且刚好匹配成功的概率为 ,那么答案就是
设长度为 且还没停止的概率为
首先
这两个序列的生成函数分别记为
那么 ,解释一下这个式子:在长度为 且还未匹配成功的串后面随机加一个数,结果得到一个长度为 的串,这个串要么还是没匹配成功、要么刚好匹配成功
上面的递推式也就是下面这个式子:
再引入一个递推式:
这个式子所讲的事情就是:我在一个长度为 的未匹配上的字符串后面强行放一个模式串,那么肯定就匹配成功了,只不过在匹配成功之后可能还多加了几个字符。假设我放到第 个字符的时候就已经匹配完了,那么这个时候对应的就是 ,但是后面又多出来 个,所以就有 这个系数。另外,发生这种情况肯定得满足“这 个字符必然同时是模式串的后缀和前缀”,也就是式子中所写的 。
写成生成函数的式子:
现在,我们要求的是
对第一个式子两边求导,得到 ,然后带入 ,得到
根据概率的定义,我们有
将 带入式子 ,得到
所以这题就是个 裸题
代码
#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#define iinf 0x3f3f3f3f
#define linf (1ll<<60)
#define eps 1e-8
#define maxn 100010
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define rep(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define drep(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
#define em(x) emplace(x)
#define emb(x) emplace_back(x)
#define emf(x) emplace_front(x)
#define fi first
#define se second
#define de(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
ll read(ll x=0)
{
ll c, f(1);
for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-0x30;
return f*x;
}
#define mod 10000
struct EasyMath
{
ll prime[maxn], phi[maxn], mu[maxn];
bool mark[maxn];
ll fastpow(ll a, ll b, ll c)
{
ll t(a%c), ans(1ll);
for(;b;b>>=1,t=t*t%c)if(b&1)ans=ans*t%c;
return ans;
}
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
if(!b){x=1,y=0;return;}
ll xx, yy;
exgcd(b,a%b,xx,yy);
x=yy, y=xx-a/b*yy;
}
ll inv(ll x, ll p) //p是素数
{return fastpow(x%p,p-2,p);}
ll inv2(ll a, ll p)
{
ll x, y;
exgcd(a,p,x,y);
return (x+p)%p;
}
void shai(ll N)
{
ll i, j;
for(i=2;i<=N;i++)mark[i]=false;
*prime=0;
phi[1]=mu[1]=1;
for(i=2;i<=N;i++)
{
if(!mark[i])prime[++*prime]=i, mu[i]=-1, phi[i]=i-1;
for(j=1;j<=*prime and i*prime[j]<=N;j++)
{
mark[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
ll CRT(vector<ll> a, vector<ll> m) //要求模数两两互质
{
ll M=1, ans=0, n=a.size(), i;
for(i=0;i<n;i++)M*=m[i];
for(i=0;i<n;i++)(ans+=a[i]*(M/m[i])%M*inv2(M/m[i],m[i]))%=M;
return ans;
}
}em;
struct KMP //所有传进的字符串都要封尾(len+1的位置放一个0)
{
int n, next[maxn], t[maxn];
void clear()
{
cl(next), n=0, cl(t);
}
void build()
{
int i, j=0;
for(i=2;i<=n;i++)
{
for(;j and t[j+1]!=t[i];j=next[j]);
next[i] = t[j+1]==t[i]?++j:0;
}
}
int move(int pos, int x)
{
for(;pos and t[pos+1]!=x;pos=next[pos]);
return t[pos+1]==x ? pos+1 : 0;
}
}kmp;
int main()
{
int n=read(), m=read();
while(m--)
{
int ans=0, i, len=read();
kmp.clear();
rep(i,1,len)kmp.t[i]=read();
kmp.n=len;
kmp.build();
i=len;
while(i)
{
de(i);
ans = (ans + em.fastpow(n,i,mod) )%mod;
i = kmp.next[i];
}
printf("%04d\n",ans);
}
return 0;
}