字节–或与加

一、题目描述

给定 x, k ，求满足 x + y = x | y 的第 k 小的正整数 y 。 | 是二进制的或(or)运算，例如 3 | 5 = 7。

比如当 x=5，k=1时返回 2，因为5+1=6 不等于 5|1=5，而 5+2=7 等于 5 | 2 = 7。

• 输入描述:

每组测试用例仅包含一组数据，每组数据为两个正整数 x , k。 
满足 0 < x , k ≤ 2,000,000,000。

• 输出描述:

输出一个数y。


输入例子1:
5 1

输出例子1:
2

二、分析

同样，别看这道题简单，如果在本地进行暴力枚举y的值再进行编译肯定是没问题的，但是在OJ上就不一定了，因为k <= 2,000,000,000;普通解法肯定会超时，同样需要另辟捷径

• 对于这道题，没有什么太大的意义，只是扩展思维而已；
• 为了快速找到第k小的正整数y，我们既然不能暴力枚举，就只能从公式 x + y = x | y 下手，那么 x + y 和 x | y 有什么相同点和不同点呢？
• x + y = x | y 这里可以推出一个结论，如果x & y = 0。也就是说，在二进制上看，x取1的地方，y必定不能取1。
• 从最低位考虑，若x与y在某一位上同时取1，则x + y在该位上为0，x | y在该位上为1，前面说这是最低一位x y同时取1，也就是说没有更低位加法的进位，所以这里两个结果不相等，出现了矛盾。

例子：
x = 0 0 1 0 1 0
y = 1 1 0 1 1 0
x + y = 1 0 0 0 0 0
x | y = 1 1 1 1 1 0
偏差产生的原因是倒数第二位，x+y=0 x|y=1 且倒数第一位加法没有进位

• 结论：x在二进制取1的位上，y不能做出改变，只能取0，因为如果x的某一位为1了，y在枚举 的时候相同的比特位还为1的话那么就不能满足x + y == x | y了
• 有了上述结论，可以进一步推出只要在x取0的地方，y可以做出改变
• 例如：

x = 10010010011
y = 00000000(0)00 k = 0
y = 00000000(1)00 k = 1
y = 0000000(1)(0)00 k = 2
y = 0000000(1)(1)00 k = 3
y = 00000(1)0(0)(0)00 k = 4
y = 00000(1)0(0)(1)00 k = 5
…
注意观察括号里的数，为x取0的比特位，而如果把括号里的数连起来看，正好等于k。
得出结论，把k表示成二进制数，填入x取0的比特位，x取1的比特位保持为0，得到y。

• —代码说明— 思路有了，接着就是代码，显然用位操作是最合适的方式。

三、代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
 
using namespace std;

int main()
{
    long long x, k;
    cin>>x>>k;
    long long bitNum = 1;
    long long ans = 0;
    while(k)
    {
        if((x & bitNum) == 0)
        {
            ans += (bitNum * (k & 1));
            k >>= 1;
        }
        bitNum <<= 1;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

• 循环的思想是每次取得k的最低一位，填入到低位开始，x中比特位为0的位置上。
• 所以用while来判断k是否大于0，若是，说明k还未完全填完
• 循环体内，需要找到x当前可以填的位置，我们用bitNum来从右往左扫描x的每一位
• (x & bitNum) == 0 说明x该位为0,可以把k的当前最后一位填入，用 (k & 1) 取出最后一位，用 ans += (bitNum * (k & 1)) 把k的最后一位填入到当前bitNum指向的位置。
• 填完后，k右移一位，去掉已经被填过的最后一位，bitNum也向左走一位，避免重复填入x的某个位置。
• 若x的某个位置为1，则跳过该位置，向左走一位并观察是否可以填入。
• 两次bitNum向左走一位，合并成一句 bitNum <<= 1;
• 如果上面的结论：x在二进制取1的位上，y不能做出改变，只能取0 不明白，我们再换一种讲解方式

但是可以举几个数字组合来找其中的规律：x + y = x | y
例如：
k = 1 时，5 + 2 == 5 | 2
k = 2 时，5 + 8 == 5 | 8
k = 3 时，5 + 10  == 5 | 10
k = 4 时，5 + 16  == 5 | 16
k = 5 时，5 + 18  == 5 | 18
…

转二进制

满足这个运算规律 x + y == x | y 的二进制有：

• 0 + 0 == 0 | 0
• 1 + 0 == 1 | 0
• 1 + 1 != 1 | 1 (只有这个不满足)
• 所以 x 和y 各自相对应的二进制位不能同时为 1，换言之， x 中 当前位 为 1 时， 与之对应的 y 那一位 肯定是 0 ，所以x 位为 1 的就确定了，可以去除1

X：

Y：

将 Y 中红色 的 0 去掉看看，得到一组新数据

• 这正是 从 1 2 3 4 5 6 7，由于 y 表是按照 k 从1递增的顺序得到的值。所以你有理由猜想 这组新数据正是 k ！
• X Y K 之间 有了这个关系，就大胆的编写代码去验证吧。
• 总之这就是一个找规律的游戏