线性变换
从线性空间
V到它自身的线性映射叫做线性变换,在基
α1,⋯,αn下表示线性变换为
A(α1,⋯,αn)=(α1,⋯,αn)A
线性变换的加、减、乘积、数乘与逆都是线性变换,他们的矩阵表示就是这些线性变换的加、减、乘积、数乘与逆。
假设
α1′,⋯,αn′是线性空间中的另一组基,从
α1,⋯,αn到
α1′,⋯,αn′的过渡矩阵为
P,线性变换在基
α1,⋯,αn下的矩阵表示为
B,则
B=P−1AP
此时称矩阵
A与
B相似,记为
A∼B,矩阵相似是一种二元关系。
线性空间的同构
假设
σ是线性空间
V1到
V2的线性一一对应,则称
V1与
V2同构,
σ是
V1到
V2的同构映射。
定理 数域
F上两个有限维线性空间同构的充要条件是他们的维数相等。
这个定理的意义相当重要,这说明我们在研究线性空间的时候不用在意线性空间的构造以及线性运算的定义,只需要关注线性空间这种代数结构的普适性质。
线性变换的特征值与特征向量
A:V→V是数域
F上的线性变换,
∃α=0
A(α)=λ0α,λ0∈F
称
λ0是
A的特征值,
α是属于
λ0的一个特征向量。假设
α在基
α1,⋯,αn中的坐标为
x=[x1,⋯,xn]′,则
α=(α1,⋯,αn)x
如果线性变换
A的矩阵表示为
A,则
A(α)=(α1,⋯,αn)A
根据特征值的定义
(α1,⋯,αn)Ax=λ0(α1,⋯,αn)x
因为
α1,⋯,αn线性无关,因此
Ax=λ0x
这个方程给说明特征向量满足
(λ0In−A)X=0,并且是这个齐次线性方程的非零解,而这个齐次线性方程有非零解的条件为
∣λ0In−A∣=0。注意到
∣λ0In−A∣=λ0n−E1(A)λ0n−1+E2(A)λ0n−2+⋯+(−1)nEn(A)λ00
其中
E1(A),⋯,En(A)的系数,他们依次是
A的
1,2,⋯,n阶子式之和,比较特殊的是
E1(A)=trA,E2(A)=det(A)
称
λIn−A是矩阵
A的特征矩阵,
∣λIn−A∣是矩阵
A的特征多项式,
∣λIn−A∣=0是矩阵
A的特征方程,它的根是矩阵
A的特征值。某个特征值
λ0对应的
(λ0In−A)X=0的解是矩阵
A属于特征值
λ0的特征向量。
n阶多项式方程有
n个根(复数域上),称这
n个根是矩阵
A的谱,记为
λ(A)。
关于特征值与特征向量有两个重要性质:
- 相似矩阵有相同的特征值,比如
∃B=P−1AP,
A和
B有相同特征值;
- 假设
ξ是
A的属于特征值
λ的特征向量,则
P−1ξ是
B的属于特征值
λ的特征向量。
证明
假设
λ0∈F满足
Ax=λ0x,∃x,记
y=P−1x,则
APy=Pλ0y⇒By=P−1APy=P−1Pλ0y=λ0y,∃y
证毕
几何重数与代数重数
假设
A的谱为
λ1,⋯,λr对应的重根数为
p1,⋯,pr,则
p1+⋯+pr=n
称
p1,⋯,pr为代数重数。属于特征值
λi,i=1,⋯,r的特征向量张成的子空间叫做
A的属于特征值
λi的特征子空间,记为
Vλi,定义
qi=dimVλi,称
qi,i=1,⋯,r为几何重数。
A的特征向量有如下性质:
- 属于不同特征值的特征向量线性无关;
-
qi≤pi,∀i