信号与系统第十二次作业参考答案
※ 第一题
利用Laplace变换求解下列微分方程:
(1)
dt2d2y(t)+2dtdy(t)+y(t)=δ(t)+2δ′(t)
y(0−)=1,y′(0−)=2
(2)
dt2d2y(t)+5dtdy(t)+6y(t)=3x(t)
x(t)=e−tu(t),y(0−)=0,y′(0−)=1
■ 求解:
(1)解答: 对微分方程两边进行Laplace变换,根据Laplace变换的微分定理,可将系统的初始条件代入方程:
s2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+2[sY(s)−y(0−)]+Y(s)=1+2s
s2Y(s)−s−2+2[sY(s)−1]+Y(s)=1+2s
(s2+2s+1)Y(s)=3s+5
Y(s)=s2+2s+15+3s
>>ilaplace((3*s+5)/(s*s+2*s+1))'
ans=3*exp(-t)+2*t*exp(-t)
y(t)=3e−t+2t⋅e−t,t≥0
(2)解答: 对微分方程两边进行Laplace变换,根据Laplace变换的微分定理,可将系统的初始条件代入方程:
s2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+5[sY(s)−y(0−)]+6Y(s)=3X(s)
X(s)=s+11
(s2+5s+6)Y(s)=s+11+1
Y(s)=(s+1)(s2+5s+6)s+2
>>ilaplace((s+2)/((s+1)*(s*s+5*s+6)))'
ans=exp(-t)/2 -exp(-3*t)/2
y(t)=21e−t−21e−3t,t≥0
※ 第二题
利用单边z变换求解下列差分方程,并求出零输入响应和零状态响应。
(1)
y[n]+3y[n−1]=x[n],x[n]=(21)n⋅u[n],y[−1]=1
(2)
y[n]−21y[n−1]=x[n]−21x[n−1],x[n]=u[n],y[−1]=1
■ 求解:
(1)解答: 方程两边同时进行z变换:
Y(z)+3z−1Y(z)+3⋅y[−1]=X(z)
(1+3z−1)Y(z)=z−21z−3
Y(z)=(z−21)(z+3)z(−2z+23)=z−2171z+z+3−715z
y[n]=71(21)nu[n]−715(−3)nu[n]
零输入响应:
Yzi(z)=1+3z−1−3=z+3−3z
yzi[n]=−3(−3)n⋅u[n]=(−3)n+1u[n]
零状态响应:
Yzs(z)=(z−21)(z+3)z2=z−2171z+z+376z
yzs[n]=71(21)nu[n]+76(−3)nu[n]
(2)解答: 方程两边同时进行z变换:
Y(z)−21z−1Y(z)−21y[−1]=(1−21z−1)⋅z−1z
Y(z)=(z−1)(z−21)z(23z−1)=z−1z+z−2121
y[n]=u[n]+(21)n+2u[n]
系统的零输入响应为:
Yzi(z)=z−2121z
yzi[n]=(21)n+1u[n]
系统的零状态响应为:
Yzs(z)=z−1z
yzs[n]=u[n]
※ 第三题
设激励
x(t)=e−t时,系统的零状态响应为:
y(t)=21e−t−e−2t+2e−3t
求系统的单位脉冲响应信号
h(t)。
■ 求解:
分别对输入信号
x(t)和系统的零状态响应
y(t)进行Laplace变换:
X(s)=LT[e−t⋅u(t)]=s+11
Y(s)=LT[21e−t−e−2t+2e−3t]=21s+11−s+21+s+32
=(s+1)(s+2)(s+3)23s2+29s+4
根据线性是不变系统的性质,系统的零状态输出等于系统的输入信号与系统的单位冲击响应信号的卷积:
y(t)=x(t)∗h(t)
根据Laplace变换的卷积定理:
Y(s)=X(s)⋅H(s)
因此:
H(s)=X(s)Y(s)=(s+1)2(s+2)(s+3)23s2+29s+4
>>ilaplace((1.5*s*s+4.5*s+4)/((s+1)^2*(s+2)*(s+3)))'
ans=exp(-2*t)-exp(-3*t)+(t*exp(-t))/2
则系统的单位冲击响应信号
h(t)等于:
h(t)=e−2t−e−3t+21t⋅e−t,t≥0
※ 第四题
画出
X(z)=1−4z−1+3z−2−3z−1
的零极点图,在下列三种收敛域的情况下,求出各自对应的序列:
(1)
∣z∣>3
(2)
∣z∣<1
(3)
1<∣z∣<3
■ 求解:
X(z)=z2−4z+3−3z=(z−1)(z−3)−3z=z−123z+z−32−3z
(1)
x[n]=23u[n]−233n⋅u[n]
(2)
x[n]=−23u[−n−1]+233n⋅u[−n−1]
(3)
x[n]=23u[n]+233n⋅u[−n−1]
※ 第五题
给定实数序列
x[n]及其z变换的表达式
X(z)。请证明:
X(z)=X∗(z∗)
■ 证明:
X(z)=n=−∞∑∞x[n]⋅z−n
X(z∗)=n=−∞∑∞x[n]⋅(z∗)−n=(n=−∞∑∞x[n]⋅z−n)∗=X∗(z)
两边再取共轭,原题得证。
※ 第六题
已知:
X(z)=ln(1+za),(∣z∣>∣a∣)
求对应的序列
x[n]。
■ 求解:
方法1:
X(z)=n=0∑∞x[n]z−n
X′(z)=n=0∑∞(−n)x[n]z−n−1
z⋅X′(z)=n=0∑∞{−n⋅x[n]}z−n
−n⋅x[n]=ZT−1[z⋅X′(z)]
x[n]=−n1⋅ZT−1[z⋅X′(z)]
dzdX(z)=dzdln(zz+a)=z+az⋅dzd(zz+a)
=z+az⋅z2z−(z+a)=z(z+a)−a
z⋅dzdX(z)=z(z+a)−az=z+a−a
ZT−1[z⋅X′(z)]=(−a)n⋅u[n−1]
x[n]=−n(−a)n⋅u[n−1]
>>iztrans(log(1+a/z))'
ans=((-1)^(n-1)*a^n*(heaviside(n-1)+kroneckerDelta(n-1,0)/2))/n
方法2:
利用对数进行Taylor展开:
>>taylor(log(1-x),'Order',10)'
ans=-x^9/9 -x^8/8 -x^7/7 -x^6/6 -x^5/5 -x^4/4 -x^3/3 -x^2/2 -x
ln(1−x)=−x−2x2−3x3−4x4−....=n=1∑∞−nxn
ln(1−z1)=n=1∑∞−nz−n