引用：Bejerano Y, Han S J. Cell breathing techniques for load balancing in wireless LANs[J]. IEEE Transactions on Mobile Computing, 2009, 8(6): 735-749.
这是一篇发表在网络A刊上的文章，目的是通过一种类似于小区呼吸的方案解决WLAN上的负载均衡问题。谷歌引用目前273

本博客首先对相关知识点进行介绍，然后对论文整体内容进行概括性介绍，最后面附上本人的翻译

知识点：

1. RSSI：received signal strength indicator，接收的信号强度指示，
   通过接收到的信号强弱测定信号点与接收点的距离，进而根据相应数据进行定位计算的一种定位技术
2. 大小负载均衡网络：一个WLAN不可能在没有增加其他APs负载的情况下降低自己的负载，他就是一个大小负载均衡网络

内容总结

目标是最大化网络吞吐的同时实现公平性，本文核心思想是通过减小拥塞AP的小区大小来降低负载，其明显优势是不需要修改用户侧也不用修改无线标准，唯有的要求是需要有一个NOC能获得每个AP的用户连接数和负载，且AP能随时改变beacon消息发送的功率。
802.11默认的用户连接AP的方式是最强信号连接，未提供任何解决负载不均问题的方案。
1. 研究和产业界方案：
度量：RSSI、关联用户数、关联用户的平均RSSI、新连接到这个AP上的用户当前可以获得的带宽等
实现要求：用户侧安装软件或硬件WLAN卡，AP侧修改或修改802.11标准

2. 相关研究内容
（1）小区呼吸及其扩展方案——改变边界间接改变连接
小区呼吸：基站→用户使用导频信号，不会受用户量改变而改变，用户→基站的信号则会因为用户量增加边缘处信噪比不足。这使得两个方向的覆盖面积不同，因此通过修改基站发射的导频信号的功率来收缩拥塞小区
数控分离：直接降低传输功率影响整个信道质量，同时降低了需要切换的用户和继续连接这个AP的用户传输质量，增加非拥塞AP的功率而非降低拥塞AP功率似乎更好。一般数控分离，只改变beacon传输就能改变小区面积
更新触发：一旦连接，引起断连的只能是数据传输信号的降低，反应不够敏捷。因此可短暂降低拥塞AP数据功率或向一部分用户发送断连请求
WLAN面积比小区小很多，以前的小区呼吸相关算法应用性能不够
（2）最大最小负载均衡算法——直接控制用户与AP连接
可以看作不相关并行机器调度问题，即对给定作业和机器找到最短处理时间，给出每个作业运行的机器和时间。而实现这个问题的公平性是更困难的事情
此类问题可分为作业在不同机器上运行时间相同和不同两种问题
但这些方法都需要对作业-机器匹配进行完全控制，这对连接控制算法可用，但对通过调整小区边界调整连接的思路不可行

3. 场景介绍
（1）对AP：所有AP连接到一个设备上，通过这个设备连接进入大网；AP 有固定的k个传输功率级别，且级别差为 $γ=\sqrt[k]{P_{max}/P_{min}}$ ，与商业AP相同；设定AP的重叠覆盖较大。
（2）对用户：用户会移动但一般长时间处于同一位置。同一时间只与一个AP关联
（3）对交互：AP阶段性的发送beacon广播。用户进入WLAN后，初始化一个扫描操作，监听beacon消息寻找可连接的所有AP，并连接最强RSSI的AP。当信道质量低于一个确定的阈值后，用户初始化一个新的扫描操作。用户感知的RSSI只与功率及距离有关。优于传输比特率取决于SNR，故连接到同一AP的用户速率不同

4. 挑战
简单的贪心算法是直接降低拥塞AP功率直到无法降低，但这会引起连锁反应且不一定收敛至最优。

5. 本文算法介绍
与小区呼吸相同的是通过调整beacon消息功率来调整小区大小。不同的是小区呼吸通常是无法求解最优也无法获得确切值的，但本文算法证明最优且能求得确切全局最优。
算法针对两种情况：预先知道所有可能的用户-AP对之间连接的功率和负载的完整知识以及只知道目前相连的用户-AP对之间连接的功率及负载的有限知识。
算法分两步，第一步是最小化最大拥塞负载，第二步是均衡负载

1. 最小化最大拥塞AP负载：将拥有最大负载的AP的负载降低到最低且不会有其他AP负载超过最终的该最大负载AP的负载。
   i. 瓶颈集法（针对完整知识）：初始瓶颈集B为最大负载AP，降低一级B中AP功率，并将B以外AP功率超过Y的AP加入B中，直到B无增量或B中有AP功率为0级，完成一次B的迭代。接着，对新的B，进行相同的寻找最大负载Y并加入B的另一轮迭代。所有迭代直到B=A或B 中有AP功率级别为0为止
   ii. 最优状态记录（针对有限知识）：与上述相同，只不过上述是离线计算，这里的AP功率改变都是实际进行的，最优网络状态都被记录下来最终部署
2. 最大最小优先级负载均衡算法：依次为最高负载AP降低负载至最低并固定下来，直到所有AP固定下来
3. 实际部署：单AP在小波动中自行调整，出现超出调整能力的再引发整体更新；整体每隔一段时间集体更新一次

6. 实验介绍
（1）对比对象：默认的最强信号连接SSF和公认的性能接近最优的方案（多径的FRAC及其舍入后单径的INT）
（2）实验场景：程序模拟，对实验中AP个数（20）、用户数（50-200），以及AP与用户之间的信号关系（路径损耗）做了详细设定
（3）对比内容：
– 不同用户数对比，发现尽管多用户时不如INT，但算法对用户的敏感度没有INT要求那么高，能在稀疏用户时反超INT
– 面对负载均衡场景，发现本文算法更适合
– 设定AP功率级别个数，发现只需要5-10个级别已经足够有好的性能
– 对收敛时间进行模拟，发现只需要30s-2min左右的收敛时间

正文

摘要

对无线局域网（WLANs）而言，最大化网络吞吐的同时实现公平性是关键挑战之一。其目标是实现APs的负载均衡。而当今的AP负载是非常不均衡的。为减缓这样的不均衡，一些负载均衡方案被提出，但它们需要专用的客户端软件或者WLAN卡来控制用户连接AP

这篇文章的方案是通过减小拥塞AP的小区大小来实现负载均衡的，这个方案与蜂窝网络中的小区呼吸策略在概念上相同。这个方案不需要修改用户侧也不需要修改标准，只需要AP有动态改变发送AP beacon信息的功率的能力。和已有的小区呼吸方法不同，小区呼吸使用的是局部优化的启发式算法，本文的算法能保证找到最优的beacon功率设置，并在多项式时间内最小化最拥塞AP的负载。接着考虑网络范围内最大最小负载均衡问题。证明了这个方法NP难。我们发现了这个问题的变种：最大最小优先级负载均衡问题，并提出了多项式时间的算法来找到最优的解决方案。大量仿真证明我们的方案与已存在的基于关联的方案性能相当或更优

1 概述

在IEEE 802.11 WLAN中，APs之间的负载是不均衡的。默认连接方式是WLAN用户扫描所有可用信道，找到附近的APs，并连接到最强信号的AP上，而不考虑AP的负载。因而用户的不均衡导致了APs负载的不均衡。本文的方案通过减小拥塞小区的大小，从而让在拥塞小区边缘的用户连接到邻居中拥塞度低的小区上来降低拥塞APs的负载，实现方式是控制AP发送beacon信息的功率，这在概念上类似于蜂窝网络的小区呼吸，不同的是以前小区呼吸的策略更多的依赖于局部优化的启发式算法，而这里算法能对最大最小均衡给出确切的最优的小区尺寸。通俗来说，如果一个WLAN不可能在没有增加其他APs负载的情况下降低自己的负载，他就是一个最大最小负载均衡网络。我们的优势在于不需要用户侧或标准的修改。

A 通过用户-AP联合控制实现负载均衡

当前802.11标准未提供任何解决负载不均问题的方案。大多公司或学术机构一般通过使用特设的客户端的软件或WLAN卡来控制用户-AP互联。比如一些供应商已经在设备驱动、AP固件和WLAN卡中加入了特定的负载均衡功能。这些方法中APs通过修改beacon信息向用户广播负载水平，用户选择最低负载的AP。

一些研究提出了各种关联度量，而不是使用RSSI作为唯一的连接标准。它们通常考虑关联到AP上的用户数、关联用户的平均RSSI以及一个新连接到这个AP上的用户当前可以获得的带宽等。如：Balachandran让用户连接到能提供最小要求带宽的AP上。如有多个AP符合要求，则选择最强RSSI的AP。Velayos等人设计了一种分布式负载均衡架构，其中AP的负载被定义为通过了这个AP的上行下行流量的聚合。Kumar的联合选择算法基于公平性和吞吐的比例平衡。大多数算法都只考虑了新加入了用户，也有两个例外：Tsai and Lien的方案中当整体负载上升到一个阈值或者分配给用户的带宽降低到一个阈值后重分配用户；[2]的实时方案方案阶段性的优化用户-AP连接，这个工作还证明了公平性和负载均衡之间的相关性：AP负载均衡的时候就能实现公平的服务

这些方案由于需要在用户端进行软件或硬件的部署而缺乏可操作性。如今，WLAN用户频繁在不同WLAN之间移动，不同网络由不同组织管理，使用了不同的负载均衡方案。让用户对每种方案都有相应的客户端是不现实的。这要求提出一个新的不需要任何客户端或协议标准修改的模型

B 小区呼吸实现负载均衡

在CDMA的蜂窝网络中，一个小区的覆盖与容量反相关。随活跃用户增多，基站的总干扰也会增多。因此，在拥塞小区，用户需要提高功率来保持它在基站处的信噪比。当拥塞小区的用户提高传输功率时，也提高了它们对邻居小区的干扰（CDMA网络中所有小区使用同样的频带）。因此，这造成了整体的网络容量的下降。然而，用户的最大传输功率是确定的，因此远离基站的用户得到的服务将会更差。这种叫做远近效应的问题将会导致正向反向链路的小区边界不均衡——正向边界取决于基站的导频信号（pilot signal），与干扰无关。也就是说，反向连接的小区边界比正向连接的要更紧。为解决这个问题，Togo and Jalali分别独立的提出了小区呼吸方案。这个方案通过减小导频信号来缩小拥塞小区。

一些研究探索了将小区呼吸与其他干扰缓和方案的结合。Yang and Ephremides通过结合小区呼吸和带宽空间分区提出了解决远近效应的方案；Du等提出了一种分布式负载均衡的气动振动算法；Sang等使用小区呼吸技术协调包级调度。总的来说，现有的小区呼吸技术使用的是概率局部优化策略。因此，都不能保证方案的质量。而由于WLAN比小区小很多，这些方案可能无法在WLAN内有好的性能（后面具体讨论）。而且这些技术无法简单的应用到IEEE 802.11 WLAN内。它们需要改变调度算法或用户位置的知识。这让我们需要找一个针对WLAN的特定的全局最优算法

C 最大最小负载均衡算法

原则上，我们的目标可以看作是一个不相关的并行机器调度问题的最小-最大变量。这个问题是：对给定的作业和机器，寻求最小化任何机器的最大处理时间的作业机器匹配，结果要给出在每个机器上每个作业的运行时间。使用这个算法，大多数工作都解决了在有线网络中为一组预先确定的路由分配公平带宽的问题

为最大最小公平带宽分配选择路由是一个困难得多的问题。Megiddo针对单源分流问题，提出了一种多项式时间算法，求出了最优的最大最小公平解。Kleinberg扩展了这个问题，考虑连接是沿着一个单路径路由的。他们的方法可以应用于不相关的并行机器调度问题的负载保留实例，认为每个作业在可行机器子集上有相同的运行时间。他们认为一个常数倍近似的算法无法倍找到，因此提出了一种前缀和为2倍近似的算法，即对任意k＞0，按照负载升序排列的机器的前k个的和，最多指挥使最优解前k个和的2倍。

用户-AP连接控制方案的另一项重要研究（可归类于一般不相关的并行机器调度），其中每个作业可能在每台机器上有不同的运行时间。它的最大最小负载均衡算法确保了相较于最优有2倍近似比的的算法。值得注意的是，这所有的方法都需要对作业-机器匹配进行完全控制。这在用户-AP连接控制算法中是可行的，但在小区呼吸中，因为调控连接仅通过调整小区边界，因此是不能使用的，需要新的方案

D 本文贡献

我们为IEEE802.11 WLANs提出一种新的负载均衡方案。这个方案通过修改AP发送beacon消息的功率来调整小区最大最小，而不需要修改数据传输信道的传输功率。本文是第一个将小区呼吸应用到802.11 WLANs上的。更重要的是，不同于现存的小区呼吸，我们找到了确切的全局最优，而不是依赖本地启发式优化。我们的算法并不绑定到特定的负载定义，而是支持广泛的负载定义。这里认为AP的负载为它连接的所有用户的集合。负载的界定可以使用简单的用户连接数，或者复杂点使用传输比特速率或流量需求。我们的方案不需要任何来自于用户的信息或标准的修改，只需要AP有动态修改beacon发送消息速率的能力——这对当今AP而言很容易通过软件更新实现。

算法在数据操作中心（NOC）运行，这里将通过类似于SNMP的方法收集负载和连接的信息。依据已有的信息，我们考虑两个知识模型。

1. 完整知识。预先知道所有可能的用户-AP连接的功率和负载。不过这在当前WLAN中并不具备条件
2. 有限知识。只知道当前用户-AP连接以及负载的beacon功率信息。
   完整知识算法作为可操作性更强的有限知识算法的基础

算法的提出分两步。

1. 定义最小化最大拥塞AP负载问题，最大拥塞AP的负载又称为拥塞负载。提出两个多项式时间算法寻找最优方案，分别对应完整知识和有限知识——而相类似的负载均衡问题是NP难的。更有趣的是，这个多项式时间的算法竟然对有限知识模型也适用。算法的基础是，只要当前功率设置高于最优设置（也就是每个AP有比最优的相同或更高的功率级别），就能调用到一个确定的功率下降操作的序列达到最优解。算法一开始所有APs处于最大功率级别，然后迭代降低一部分AP的功率。
   (1) 对完整知识，使用瓶颈集的概念，在将瓶颈集中所有APs的功率级别降低后，每个AP的负载确保会严格小于等于初始拥塞负载。这保证了单调收敛至最优方案。
   (2) 对有限知识使用最优状态记录方案，拥塞AP的功率水平会逐渐降低直到功率无法被降低，这时最优方案就被找到并记录了
2. 解决了寻找最大最小负载均衡问题的方案。证明这是一个强NP难问题且没有好的近似算法。我们证明了不存在保证任何常数逼近比的算法，且任何前缀和逼近算法的逼近比至少是Ω(logn)，n为AP数。我们找到这个问题的变种——最大最小优先级负载均衡，这个方法对两个模型都能在多项式时间计算出来。

通过仿真，不考虑网络负载模式，我们的小区呼吸方案与已存在的分配控制方案相似或更好。而且我们能使用更少量的功率级别也能有这样的能力。我们的方案是最大最小优先级负载均衡方案，可即使AP没有优先级也能通过随机给出优先级来得到接近最优的结果。且尽管一开始面向IEEE 802.11 WLANs，我们的方案对其他无线网络也适用。

2 网络模型

考虑包含一个AP集的IEEE 802.11 WLAN网络，以A表示|A|表示AP数。所有APs连接到一个固定的设备上，通过那个设备连接到有线网络中。每个AP有一个确切的传输范围，只能为这个范围内的用户服务。每个AP设置了K+1个传输功率级别{ $P_k|k∈[0..K]$}，其中最小和最大级别分别是 $P_0$和 $P_K$ 。每个级别的 $P_k$在功率集中的位置为k，且传输功率比前一个级别强γ倍，其中 $γ=\sqrt[k]{P_{max}/P_{min}}$ 。可知 $P_k=P_{min}·γ^k$。这个假设与当前的商业AP的设置相同。设每个AP的功率是 $P_a$，其在功率表中的位置是 $p_a$。我们假定APs覆盖重叠较大，所以即使在所有AP配置最小功率的时候每个用户至少能连接到一个AP，定义A中所有AP覆盖区域为网络覆盖区

用U表示覆盖面积中用户集，|U|为用户数。用户可以移动但一般会长时间处于同一位置，且任意时间与一个AP互联。每个AP阶段性的发送beacon消息来广播自己的位置。用户进入WLAN后，初始化一个扫描操作，扫描所有信道（也就是监听beacon消息）寻找可连接的所有AP，并连接最强RSSI的AP。当信道质量低于一个确定的阈值后，用户初始化一个新的扫描操作并可能连接到一个不同的AP上

用户感知到的AP的RSSI表示为 $R_{u,a}$，这取决于AP的功率和信号衰减 $g_{u,a}$，也就是 $R_{u,a}=g_{u,a}·P_a$。信号衰减这里只认为是由于长距离导致的路径衰减和缓慢衰落导致的。认为计算的这段时间内信号没有变化。由于用户-AP互联取决于RSSI，将网络区域分到|A|个互斥的小区。AP a的小区内AP a有最强的RSSI。因此AP a的小区取决于AP a的传输功率和a周围AP的强度

一个用户-AP对的传输比特速率决定于信噪比（SNR），因此连接到同一AP上的用户会有不同速率。每个用户在它连接的AP上有负载，一个AP的总负载 $y_a$就是所有连接用户负载的和。 $l_{a,u}$表示用户u在AP a上的负载。我们认为这种负载是连续的。有最大负载的AP叫做拥塞AP，它的负载叫拥塞负载Y。其他AP叫非拥塞AP

本方案是自适应的，对负载的定义甚至都可以修改，比如可以认为一个AP的总负载是用户负载的乘积都没问题的，取log就行了。

3 小区呼吸方法

假定存在NOC（网络操作中心），AP将自己的关联用户、负载和其他相关信息报告给NOC。NOC计算并配置AP

A 小区呼吸的概念

通过减小小区面积来降低负载，这要求拥塞小区边界的用户切换连接至周边不拥塞的小区。这可以通过降低拥塞AP的功率来实现，如下：

• 例1
  图1a中AP abc分别连接了1,8,1个用户，这里将负载设置为用户数，因此显然b负载远超其他AP。通过降低b的传输功率，b的小区面积降低，它的4个用户由于过低的信号质量重新扫描并切换到其他AP上。因此用户连接数变为3,4,3，更加分布均匀
  

直接降低传输功率影响整个信道质量，不仅降低了需要切换的用户传输质量，也降低了继续连接这个AP的用户传输质量，使他们传输速率下降，传输时长增加，当AP负载考虑了用户的有效吞吐时这会加重AP负载，因此，增加非拥塞AP的功率而非降低拥塞AP功率似乎更好

为解决此问题，将传输分为数据传输和beacon消息传输。一方面，用户-AP的传输速率取决于数据传输信道质量，最大功率传输数据将能得到最大的AP-用户信噪比和最大的传输速率；另一方面，用户是在扫描AP的beacon消息以后决定连接的，所以只要降低beacon消息功率，就能减小小区面积。这就是小区呼吸。数据流量与beacon消息的隔离是对AP唯一的要求，通过软件升级一定很容易做到。

B 用户-AP连接改变的触发

在很长一段时间，上述通过劝退新用户连接到拥塞AP的方式帮助了AP负载均衡。但由于小区呼吸不能精准的控制用户-AP连接，因此可能不能提供迅速的应对，因为一旦连接建立，用户就只会考虑数据传输接收信号，只要这个信号不变就不会断连。而当突然流量出现时，我们需要的是主动调用扫描操作。我们的方案是短暂的降低拥塞AP的数据传输功率，让边界用户触发扫描操作。另一个方案是向所有或一部分用户发送断连消息，这种灵活度更高，还不会影响不想影响的用户。本文后面假定已经有一个方案触发更新。后面讨论中的功率改变就是beacon功率改变。

C 算法挑战

贪心算法：降低拥塞AP的功率级别直到最低功率级别。下例表明即使很简单的场景贪心算法也可能失败，甚至在一些案例中最终的拥塞负载比一开始的还高

• 例2
  如图2。对2个AP2个用户的WLAN，u1只能连到a，负载1，u2可连接到两个AP，负载2，它会选择连接到最高功率的AP。一开始ab都使用最大功率K传输，此时a负载3.贪心算法为降低a负载让u2连接到b，ab负载现为1和2。下一轮算法会降低b的负载，然后b被切换到a。这个算法会让b一直切换直到ab都达到最低功率，这时结果是a3b0，显然不是最优。这表明算法需要更复杂一些。

4 最小化拥塞负载

本章提出了对完整知识和有限知识两种模型的两个最小化拥塞AP负载的算法

A 问题描述

定义1：网络状态。表示所有A中AP的beacon功率等级，S={{a, $p_a$)}。网络状态决定了所有AP的小区大小。又由于用户总选择RSSI最强的AP连接，它也决定了用户-AP连接状态，并决定了拥塞AP D和拥塞负载Y。只有网络状态改变才会有切换发生，定义为状态切换

定义2：AP负载拥塞最小化。这个问题寻找能最小化AP拥塞负载的网络状态，根据可获取的信息将这个问题分为以下两类：

定义3：完整知识（CK）模型。此时网络上可获取的信息包括任意AP-用户对之间的信号衰减、用户-AP负载。如果所有用户收集RSSI信息并发送给NOC，完整信息是可以得到的。这在IEEE 802.11-k中给出了建议。但目前并未实现，因此需要使用有限知识方案

定义4：有限知识（LK）模型。只能获取连接到每个AP的用户集以及每个用户在关联AP的负载。

完整知识模型中，NOC能在不修改网络状态的情况下知道所有可能的网络状态，NOC就能离线计算，找到期望的AP并完成配置，但在有限知识中是不可能的。下面我们将看到两种模型的最优网络状态都难以被找到

B 初步考察

我们提出了一些与我们的算法相关的基本观察结果。最重要的是研究科AP功率降低与网络状态转变的关系

定义5：子集A’功率降低。子集A’的功率降低实现了状态转变，在A’中所有AP功率降低一级而其他AP功率不变。

引理1：对集合A’功率降低，唯一的可能是连接到A’上的用户切换到A-A’这个集合中，而A’内和A-A’内切换都未发生。

推论1：所有AP功率降低不会改变用户-AP连接关系

对于 $S^{new}$高于 $S^{init}$，要求所有AP都满足init的传输级别等于或高于new的传输级别（所以每个S都高于它自己）。原始所有AP功率值都是K的状态，因此高于其他所有状态，这个状态叫做最大功率态。 $S^{opt}$为最优控制态，它是 $S^{init}$生成的AP功率普遍小于其他生成态的状态。如果一个AP在初始和最优态值相同，这种AP叫做锚点(anchor)

结合引理1，只要A’中不包含锚点就可以放心的让A’所有AP降低功率，即：

引理2：C为 $S^{init}$中的锚点集。降低A-C的集合A’的功率可以得到一个新的状态 $S^{new}$，这个状态高于最优状态。

推论2：只要 $S^{init}$不是最优，一定存在一个功率降低操作集，通过降低非锚点AP的功率，可以收敛到最优状态。非锚点AP的获取可以通过拥塞AP得到

由于最优集不是先验的，我们无法知道何时已经抵达最优。这时继续降低拥塞集AP的功率可能会增加其他AP的负载到Y甚至更高如例2。为避免这种情况，使用以下两种方法：

1. 瓶颈集功率降低，保证拥塞负载永不升高，将此方法用于完整知识模型中，让功率降低的集合单调收敛至最优
2. 最优状态记录，记录至今找到的最优状态，用于有限知识方案中

C 瓶颈集

瓶颈集B包括所有负载为Y的以及所有负载可能会因为功率降低提升至Y甚至更高的AP集合，可递归的定义为：

定义6：瓶颈集。对初始状态 $S^0$有拥塞负载Y，定义 $B^0$为此状态下负载为Y的集合。已知在 $S^{i-1}$状态有瓶颈集 $B^{i-1}$，状态 $S^i$就是通过降低 $B^{i-1}$中的功率得到的，其他AP的功率由 $S^{i-1}$继承来。而 $B^i$包含 $S^{i-1}$以及所有变成或超过Y的AP。

• 例3
  对例2中的局域网，图2a中二者功率相同，降低AP a的功率级别，其负载从3降低到1，而b的负载增加至2，即图2b，此时瓶颈集为AP a。接着AP b降低功率，负载从2降至0，此时瓶颈集包括两个AP

对完整知识，已知网络状态瓶颈集很容易被计算出来。
初始状态计算所有AP与用户之间的RSSI，从而决定初始用户-AP连接状态，并得到每个AP的负载以及Y，同时得到 $B^0$，然后循环根据 $B^{i-1}$得到功率下降后每个用户和AP在i时的RSSI，然后确定新一轮用户与AP的连接，将新一轮连接中超出Y的AP加入 $B^i$中。迭代运行直到找到终止条件。在终止时，就得到了瓶颈集B。图3是此算法的详细描述，注意这个算法并不会真的改变网络状态，仅仅是进行了模拟计算

引理3： 对状态S，其瓶颈集是B，拥塞负载是Y，B是包含了所有拥塞AP的最小集合。在B进行了功率降低操作以后，所有AP将≤Y。所有拥有以上属性的A’中必定包含B

设{ $S^j$}为使用瓶颈集降低功率生成的网络状态序列，而 $Y_j$对应每个序列的拥塞负载

引理4：{ $Y_j$}是单调非增序列

引理3引出的定理1是我们最优化证明的基础

定理1：考虑能生成 $S^{opt}$及瓶颈集B的 $S^{init}$生成的次优状态，通过集合B功率下降操作， $S^{init}$得到的 $S^{new}$也高于 $S^{opt}$。

证明： $S^{init}$的拥塞负载严格高于 $S^{opt}$。引理3告知B是包含了所有拥塞AP的最小集合，且它的功率降低不会引起其他AP负载超过Y，因此 $S^{new}$要么是最优，要么高于最优

D 完整知识算法

从最大功率状态开始，迭代计算瓶颈集B，每次都要决定需要再降低功率还是最优的已经被找到。为此，使用两个结束条件。

1. 是否B=A。推论1告诉我们降低所有AP的功率不会改变连接关系，因此这不会降低最大AP负载。
2. 瓶颈集B包含了一个有最低传输功率的AP。此时B中所有AP不能同时降低功率
   图4是这个算法表示，例4是一个使用本算法的例子
   
   

• 例4
  如图5a，K=2。实线为默认连接，线上的值为此连接的带来的负载，虚线值上的星号表示想要实现这个连接需要两个功率级的差异。如u2想要连接到b可能需要pa=0，pb=2。
  初始状态所有AP功率为2级，图5b给出了负载情况。第一轮，B={c}，c的功率因而降为1级，u3连到b上，图5c为新连接负载情况。此时c仍为拥塞AP，但c降级会导致u4连接到b上使b成为拥塞AP，因此第二轮拥塞集为{b，c}，这一次降级以后结果如图5d表示，此时c级别为0，循环结束。明显，最后状态拥塞负载降低，但并没有对非拥塞AP做负载均衡

定理2：完整知识算法总能找到最小化拥塞负载的最优状态

证明：由定理1知，只要算法未到达最优状态，通过降低瓶颈集功率后会高于最优解。引理4表明计算过程拥塞负载永不增加。因此这里只需要说明算法会在最优处停止。

功率降低操作最多是K·|A|次。如果最终状态不是最优。由于 $Y_j$是单调不增的，所以算法一定是停在了找到最优以前。算法会在B有AP功率达到0级或B=A时停止，但我们知道，前者功率已经无法下降了后者下降了也无法改变连接。因此一定还有一个A’集合不包含B，且其功率下降会降低拥塞负载。但引理3告诉我们这时不可能的。

计算复杂度为 $O(K·|A|^3·|U|)$。算法角度上，是伪多项式的。实际操作中，K是一个像10一样的小数，因此实际操作上它就是多项式时间的。

E 有限知识算法

这里无法像完整知识算法中计算出瓶颈集。根据推论2，只要网络状态是次优的，一个功率降低AP集可以通过降低功率收敛至最优。此性质需要解决终止条件问题，否则会像例2那样在次优时终止。这里突出最优状态记录方案，将会记录至今有最低拥塞负载的状态。定义 $\widetilde{S}$记录状态， $\widetilde{Y}$记录此状态下的拥塞负载

算法：以最大功率状态初始化，并用 $\widetilde{S}$和 $\widetilde{Y}$记录当前状态。算法迭代进行，此计算得到拥塞集D，只要D不包含任何最小功率的AP，就会将D中所有AP功率降级。如果新一轮结果优于记录的拥塞负载，那么更新记录。最终算法将AP设定为记录下来的功率设置。图6是算法描述，例5是一个例子。

• 例5
  使用例4同样的WLAN。图7a是初始连接。c是拥塞AP，通过算法它将会两次降低功率分别变成图7b和图7c。而第一次迭代拥塞负载从12变为10，因此这个状态将会被记录下来，而第二次则不会。第三次迭代u3也会改变自己的连接，最终c又是拥塞AP了。最终的连接将会变成图7b的样子，因为记录是这个状态的。
  

定理3：有限知识算法总能找到最小化网络拥塞负载的最优状态

证明：算法始终记录了当前最优状态。考虑如果最终没有找到最优的结果。推论2告诉我们只要算法未达到最优，迭代获取的状态序列就高于最优状态。因此算法在高于最优的地方停止了。然而算法只在某个拥塞AP功率达到0级的时候停止，此时它的负载已经不可能通过降低功率来降低。这说明要么它已经是最优了，要么它不会高于一种最优状态，这与假设相反，所以一定会在最优状态停止

5 寻找一个最大-最大负载均衡状态

4中的算法最小化了网络拥塞负载但没有平衡非拥塞AP的负载。本章进行这方面讨论。目标在A中定义，但这是个NP难问题，且很难找到近似解。尽管如此，本文介绍了一个问题的变种：最大最小优先级负载均衡问题，可在多项式时间找到最优解，在B中介绍了这个算法本方案用于有限知识模型（完整知识也适用）

A 问题描述

（本章证明较长，因此未翻译相关证明）
一般当无法降低任意一个AP的负载却又不增加其他与这个AP相同或更高负载的负载时，称网络已经达到最大最小负载均衡了。定义 $\vec{Y}$为|A|个元组的降序排列的所有AP的负载

定义7：最大最小负载均衡网络状态。对一个网络状态S，其对应负载 $\vec{Y}$，对其他任意S’对应的 $\vec{Y}, \vec{Y}$’中相应序列的负载将与它们相同或更小。

接下来证明它是NP难的。其实我们可以证明即使找到拥塞AP得最小集合也是NP难的。

定理4： 寻找一个网络状态，它包含最少的拥塞AP是一个NP难问题，即使是对一个只有2个功率等级的例子

证明：略（此处不先翻译了）

推论3：找到最大最小负载均衡状态是一个NP难问题

定理5：除非P=NP否则没有γ倍近似解

定理6：除非P=NP否则没有γ倍前缀和近似解

由于NP难，设定一个变形。问题中假定每个AP有一个唯一优先级来表示AP的重要性。我们不讨论如何设定优先级。接下在给出一个优先级负载定义

定义8：一个AP的优先级负载。AP a的优先级负载ya定义为有序对( $l_a,w_a$)，其中 $l_a$是AP a上所有负载， $w_a$是AP a的优先级

简称AP的优先级负载为负载。当说a的负载高于b的负载时，认为ya比yb字典序高，字典序高即：（1）la>lb或（2）la=lb且wa>wb。目标设定为寻找最大最小优先级负载均衡的网络状态

由于AP的优先级唯一，所以所有AP的优先级负载各不相同，因此

性质1：在有了优先级负载定义后，任何网络状态中每次拥塞AP仅包含一个AP

B 最小-最大算法

每次迭代称为一次routine，在第m次迭代中，与4E相同，计算使负载向量第m个坐标的优先负载最小化的网络状态。routine需要满足两个要求：
R1. 每次迭代的初始状态必须是高于最优状态的
R2. 第m次迭代中不能增加在前面的迭代中已经决定好负载的的AP的负载

为满足R1，我们从最高功率网络状态开始并确保每次迭代的状态高于最优；为满足R2，我们设置一个固定AP集F，它们的负载已经在以前的迭代中被决定了。最开始，F是空的。由性质1可知，每次只会有一个未固定AP，也就是拥塞AP d有拥塞负载

在第m次迭代中调用LK_Minimize_m_coordinate routine来最小化负载向量的第m个。这个routine使用3个记录的变量：目前为止找到的拥塞负载 $\widetilde{Y}$、第一次发现最优负载的网络状态 $\widetilde{S}$和相应的拥塞AP $\widetilde{d}$

一开始将用于记录的变量初始化为初始状态相应值。然后迭代计算拥塞AP d知道d已经达到了最低功率，否则降低d的功率并评估这样的降低对拥塞负载Y以及固定AP的影响。如果有固定AP的负载被提高则停止，这满足了R2。另外，如果这个状态的拥塞负载比记录的负载更低，那就更新记录的变量。最后根据记录的网络状态设置，并返回记录的网络状态和拥塞AP。拥塞AP被加入固定AP集合里面，然后算法触发新的routine来最小化第m+1个。例6是一个例子，图8为整体的计算过程

• 例6
  考虑例4的网络，使用LK_Minimize_m_coordinate算法获取图9a结果，可知这个状态优于使负载向量的第一个坐标最小的任何其他状态。再次调用得到图9b，这是唯一的最小负载均衡状态
  
  下面证明这个算法将会发现最优负载向量

引理5：对符合R1的第m次迭代，它将最小化负载向量的第m个而不会修改任何固定AP的负载。而在第m+1次迭代前仍满足R1

证明：每次迭代都会保留初始状态并以对固定AP有改变而结束， $\widetilde{S}$中保存的是最小化第m个AP的结果，因此只需要证明 $\widetilde{S}$保留了R1。我们假定第m次迭代以高于最优的状态开始，而 $\widetilde{S}$是降低了拥塞负载且满足R2的状态，因此它高于任何使第m个最小化的状态，因此符合R1

定理7：此算法总能找到最大最小优先级负载平衡解决方案

证明：这是引理5通过归纳得到的结果，对所有m坐标都能找到最优负载向量

算法复杂度是O( $K·|A|^3·|U|$)

6 在线策略

如果每次有一个用户到达或离开就运行算法会造成频繁的连接改变，甚至可能断开用户正在运行的session。我们的在线策略在切换频率和网络最优负载均衡间取得了平衡。。这个策略结合了全局优化和本地优化。本地优化处理动态的用户进入与离开，全局优化则是阶段性触发或者在本地优化无法保持负载均衡状态的时候触发。策略使用3个配置参数：最小负载阈值Ω，小区适应阈值Δ和时间阈值θ。前二者确定了本地优化的边界，防止微小变化造成不必要的全局优化的调用，后者控制了全局优化的周期性调用

本地优化与全局优化本质不同，它不仅会降低AP功率也会增加AP功率。AP a有邻居集Na，邻居的平均负载是 $\vec{y_a}$。

• 当AP负载降低时，算法检查这个新的负载是否满足小区扩张条件（AP a的所有邻居负载)
• 当AP负载增加时，检查新负载是否满足小区收缩条件（AP a的所有邻居负载)
• 如果条件都满足但本地算法无法调整AP的功率级别全局优化算法启动。且全局算法每隔θ时间启动一次

7 仿真结果

对比方案：

• 最强信号连接（SSF）方案，是802.11标准，与我们方案中单功率等级的场景相同；
• 分数最优解（FRAC）方案，不单依靠信号强度，目标是实现最大最小公平带宽分配。由于这个问题是NP难，它使用FRAC，假定用户可以同时连接多个AP，它通过舍入获得整数解(我们称之为INT)，以满足单个关联约束。这个方案被看作基准，因为它提供了严格的性能上界（最低的拥塞负载），且方案确保了2倍近似解。且随着用户增加，整数解收敛于分数解。

因此，不能期望所提出的小区呼吸方案比最优关联控制方法有更高的自由度。与INT对比的目标是发现细胞呼吸方案能实现与其相当的性能，却不需要特别的用户端的软件。惊喜的是，仿真限制小区呼吸方案在一些时候比INT更优。

仿真设置：

20个AP位于5×4网格上，相邻AP距离设置为100m，每个AP设置了10Mbps的回程链路。做了一定的频率规划来降低AP之间的干扰。为了确定用户和AP之间的比特率，计算SNR并相应地选择比特率。当信噪比≥9dB时采用11Mbps比特率，当信噪比≥5dB时采用5.5 Mbps比特率，当信噪比≥3dB时采用2Mbps比特率，当信噪比≥1dB时采用1Mbps比特率。设最大传输功率是20dBm最小为10dBm，中间功率电平是由10dBm间隙除以模拟的功率电平数来确定的。除非特指，使用10个功率级别。为模拟室内环境，路径损耗指数设定为3.3，路径损耗则为PL(d)=40-10·3.3·logd，d为用户和AP之间的距离。噪声是-93dBm。在这样的信道模型中，最大功率覆盖150m，最小功率覆盖75m。因此即使是最小功率也没有覆盖空洞。所有用户都是重登录、准静态的。每个AP的优先级是随机选择的。我们借用了系统性能度量，并定义了AP的负载为所有相连用户的比特率

结果介绍

负载适度

图10是100个用户随机分布后选择连接的情况。这模拟了负载适度的网络，AP与活跃用户的比为5。Y轴为AP负载，X轴为AP序号。负载是通过300次仿真得到的。只有X轴为整数对应的点有效。可以看到我们的min-max算法和min-congestion算法拥塞负载相同，但字典序排序要更低。min-max和INT明显优于SSF。min-max方法比FRAC的最大负载高35%

稀疏用户

仿真50用户的结果见图11。发现INT与FRAC之间的间隙比100用户要大，我们的min-max方案比INT好很多。这是因为INT方案的性能取决于用户数。少量用户使得舍入误差增加，INT的结果与FRAC结果相去甚远。但有趣的是，min-max与FRAC及SSF之间的间隙并没有因为用户变化发生很大改变。比如200用户的状况下FRAC与min-max之间的空隙也是35%左右。与FRAC之间平稳的相对性能是小区呼吸方案的一个关键优势。

负载不均衡

考虑不均衡的用户分布。20%的人随机分布，其他集中于两个不重叠热点，每个热点是一个75米半径的圆，其中一个热点包含另一个2倍的人。图12是总人数100的情况。min-max在有热点的情况下表现更好，明显优于INT方案

不同级别个数

目前设置10个功率级别。为检验级别数的影响，使用了4种不同的级别数。模拟100人均匀分布，结果如图13所示，功率等级的数量超过一定数量的功率等级(在5到10之间)之后，功率等级的影响就会变得非常小

收敛时间

完整知识算法能直接计算出一个节点的最优方案，有限知识则需要迭代修改功率来找到最优。为捕捉有限知识的开销，计数了功率调整的数量以及模拟过程中用户发生的移动数。功率调整数决定了系统收敛前需要的时间，用户移动切换数决定了切换开销。下表是统计数据。每个格种前者是有限知识min-max方案结果，后者是有限知识min-congestion方法。后者收敛很快而前者需要更长一点。如果功率调整时间间隔是1s，100随即用户的负载均衡算法min-congestion需要约33s，min-max需要2min。用户的增长似乎不会明显增加收敛时间，热点的存在并不一定意味着更长的收敛时间，在min-congestion的情况下，甚至需要更少的时间来收敛

8 结论

为IEEE 802.11网络提出了一种创新的小区呼吸策略用于寻找最优负载均衡方案。对问题进行了严格的分析并提出两种算法，从而发现全网范围确定的最优解。第一个算法最小化最拥塞AP的负载，第二个算法生成最优最大最小优先级负载均衡方案。这些最优化方案只需要获取一些已知的信息，不需要额外从用户方或修改标准来获取。值对AP传输beacon消息的功率进行了控制，这通过AP的软件升级是可行的。仿真发现即使最小数量的功率级别（5-10），也足够实现接近最优的负载均衡方案，这体现了方案的实用性。特别的，小区呼吸策略能在WLAN的网络管理工具种部署，并在AP出现不均衡负载的时候被激活。

可用引用

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2. Y. Bejerano S-J. Han and L. E. Li. Fairness and Load Balancing in Wireless LANs Using Association Control. In Proc. ACM Mobicom 2004, pages 315-329, Philadelphia, PA, USA, September 2004. 证明了公平性和负载均衡之间的相关性：AP负载均衡的时候就能实现公平的服务；这是对比的标杆，因为结果很好

3. V. V. Veeravalli and A. Sendonaris. The Coverage-Capacity Tradeoff in Cellular CDMA Systems. IEEE Trans. on Vech. Tech. pages 1443-1451, Septmber. 1999 在CDMA的蜂窝网络中，一个小区的覆盖与容量反相关

4. J. K. Lenstra, D. B. Shmoys, and E. Tardos. Approximation algorithms for scheduling unrelated parallel machines. Mathematical Programming, 46:259–271, 1990. 这是个算法问题，给定作业和机器，求出完成所有作业的最短时间，并给出每个机器上运行每个作业的时间

5. D. Simone, 802.11k makes WLANs measure up. Network World, March 29, 2004. 提出让用户将收集到的所有附近AP的RSSI信息发送给NOC，

6. 最小-最大负载均衡问题
   a. J. M. Kleinberg, Y. Rabani, and E. Tardos. Fairness in routing and load balancing. In Proc. IEEE FOCS, pages 568–578, 1999.
   b. Y. Bejerano S-J. Han and L. E. Li. Fairness and Load Balancing in Wireless LANs Using Association Control. In Proc. ACM Mobicom 2004, pages 315-329, Philadelphia, PA, USA, September 2004.