前言
斐波那契数列 算是比较常见的算法题了。
f(1)=1;
f(2)=1;
f(3)=2;
…
f(n)=f(n-1)+f(n-2);
一般采用递归的思想。今天做了几个关于斐波那契数列,都记录下来。
题目一
大家都知道斐波那契数列,现在要求输入一个整数n,请你输出斐波那契数列的第n项(从0开始,第0项为0)。
n<=39
这个是最原始的,就是上面我说的斐波那契数列。代码实现如下:
public int Fibonacci(int n) {
if(n<0){
return 0;
}else if(n==1 || n==2){
return 1;
}
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
可以看到非常简单,但是递归算法虽然方便,但是耗时比较长,我们也可以用循环实现。
public int Fibonacci(int n) {
if(n<0){
return 0;
}else if(n==1 || n==2){
return 1;
}
int a=1;
int b=1;
int c=0;
for(int i=3;i<=n;i++){
c=a+b;
a=b;
b=c;
}
return c;
}
用循环实现的话,减少了时间损耗,增加了空间成本。所以具体情况具体分析还得。
题目二
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。
这是一道斐波那契数列,我们读题可以发现。
只有一个台阶,一种跳法。
f(1)=1;
只要两个台阶,两种跳法。
f(2)=2;
只要三个台阶,从第一个台阶跳2步上来,或者从第二个台阶跳一步上来。
f(3)=f(1)+f(2)
n 个台阶,从n-1台阶跳一步上来,或者从n-2 台阶跳2步上来。
f(n)=f(n-1)+f(n-2);
所以这就是一道典型的斐波那契数列。代码和上面一样。
题目三
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
在上面的基础上,可以跳n个台阶。
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+…+f(3)+f(2)+f(1);
f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+…+f(3)+f(2)+f(1);
所以上试减下试。
f(n)-f(n-1)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+…+f(3)+f(2)+f(1)-[f(n-2)+f(n-3)+…+f(3)+f(2)+f(1)];
所以:
f(n)-f(n-1)=f(n-1);
f(n)=2f(n-1);n>1
所以代码为:
public int JumpFloorII(int target) {
if(target<1) return 0;
else if (target==1) return 1;
else return 2*JumpFloorII(target-1);
}
题目四
我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有多少种方法?
这道题目相对前面几道,比较难理解是斐波那契数列。
我们来分析一下。
当n=1 时,只有一种情况。
f(1)=1;
当n=2时,2个21的小矩形,拼成22的大矩形。有2种方法。
f(2)=2;
当n=3时,3个21的小矩形,拼成23的大矩形。
这个时候我们就要想下,23的矩形是一个21 和一个22的矩形组成的。
当n=5时,5个21的小矩形,拼成25的大矩形。
这个时候我们就要想下,25的矩形是一个24的矩形加一个21的矩形组成,或者一个23的矩形加一个22 的矩形组成。
所以可以推测出还是一个斐波那契数列。
f(n)=f(n-1)+f(n-2);
代码和最开始一样,就不重复啦。