生成函数就是母函数。

说的俗一点，生成函数可以理解为多维的卷积：$c_k=\sum_{i_1+i_2+...+i_n=k} A_{j,i_1}

具体怎么理解呢？举个栗子：我们有1￥，2￥，3￥的无数张纸币，求有多少种组成x￥的方案。

我们设生成函数$f_1(x)=(1+x^1+x^2+x^3+...)$，$f_2(x)=(1+x^2+x^4+x^5+...)$，$f_3(x)=(1+x^3+x^6+x^9+...)$

将他们全部乘起来，得到：$(1+x^1+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+x^5+...)(1+x^3+x^6+x^9+...)$。

那么有多少种组成x￥的方案就是幂次是x的项的系数。这很好理解。

具体来说：生成函数有很多种，常见的有

1.普通生成函数：$k_n(x)=x^n$

2.指数生成函数:   $k_n(x)=\frac{x^n}{n!}$

3.狄利克雷生成函数:  $k_n(x)=\frac{1}{n^x}$

由于是入门级内容，我们优先说明普通生成函数。

普通生成函数：

简单来说多项式的系数表示序列的元素。由于不关心x的数值，所以称x为自由元的形式幂级数。

对于这个多项式，既可以有限又可以无穷。

听起来它并什么卵用。但细发掘发现：如果一个序列有通项公式，那么它的普通生成函数的系数就是该通项公式。

那么是否可以通过求生成函数来得到一个数列的通项公式呢？可以！说的更明白一点，就是利用生成函数可以求乱七八糟递推公式的通项公式，比如著名的斐波那契数列。

在说斐波那契数列之前，我们先看看简单的例子：

$\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{+\infty} x^i$

这是怎么做到的呢？我们发现后面的是一个等比数列，根据等比数列通项公式。当$-1<x<1$时，lim_{n→+∞}x^{n+1}=0，由此得到。

推论：$\frac{1}{1-kx}=\sum_{i=0}^{+\infty} k^ix^i$

斐波那契数列：$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$