问题描述
汉诺塔是一个古老的数学问题:
有三根杆子A,B,C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘,盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆:
每次只能移动一个圆盘;
大盘不能叠在小盘上面。
问:n个盘子最少要移动多少次?
输入一个数字n,打印出一个数字表示移动的次数
问题分析
首先将问题从简单到复杂分析,找出规律
设步数为f(n)
当n = 1时,只需要1步,直接将圆盘从A移动到C
当n = 2时,先将1个小圆盘从A移动到B,再将大圆盘从A移动到C,最后将小圆盘从B移动到C,需要3步
当n = 3 时,也可以理解成需要3步,先将2个小圆盘从A移动到B,再将大圆盘从A移动到C,最后将2个小圆盘从B移动到C,由上述可知,移动2个圆盘到指定位置需要3步,因此当n=3时需要 f(3) = 3+1+3=7步
同理,当n = 4时,将问题拆分成3个小圆盘和一个大圆盘的移动,需要 f(4) = 7+1+7=15步
…
故,f(n) = 2f(n-1)+1
递推得到
圆盘数 | 步数 |
---|---|
1 | 1 |
2 | 3 |
3 | 7 |
4 | 15 |
… | … |
n | 2f(n-1)+1 |
有规律便可以求通项公式
f(n) = 2f(n - 1) + 1
f(n) + 1 = 2f(n - 1) + 2
列出关系式
f(n) + 1 = 2(f(n - 1)+1)
f(n - 1) + 1 = 2(f(n - 2)+1)
f(n - 2) + 1 = 2(f(n - 3)+1)
…
f(3) + 1 = 2(f(2)+1)
f(2) + 1 = 2(f(1)+1)
左右两边分别相乘得
f(n) + 1 = 2(n-1) * (f(1)+1)=2(n-1) * 2 = 2n
故,f(n) = 2n - 1
n个盘子最少要移动2n - 1次
代码实现
1.通项公式法
import java.util.Scanner;
public class HanNuoTa {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
System.out.println((int)Math.pow(2, n) - 1);
}
}
2.递推法
import java.util.Scanner;
public class HanNuoTa {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
System.out.println(f(n));
}
private static int f(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
}
return f(n - 1) + 1 + f(n - 1);
}
}
3.递归打印步骤
import java.util.Scanner;
public class HanNuoTa {
static int cut; //计数器
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
f("A", "B", "C", n);
System.out.println("将"+n+"个圆盘从A移动到C需要"+cut+"步");
}
private static void f(String from, String temp, String to, int n) {
if (n < 1) {
return;
}
f(from, to, temp, n - 1); //先将n-1个小圆盘从A移动到B
cut ++; //记录移动的步数
System.out.println(from + " -> " + to);
f(temp, from, to, n - 1); //再将将n-1个小圆盘从B移动到C
}
}