如何用快排思想在 O(n) 内查找第 K 大的值
核心思想
快排核心思想就是 分治 和分区,可以用分区的思想来解答:在 O(n) 时间复杂度内求无序数组中的第 K 大元素。比如,4,2,5,12,3 这样一组数据,第 3 大元素就是 4。
可以选择数组区间 A[0…n-1] 的最后一个元素 A[n-1] 作为 pivot,对数组 A[0…n-1] 原地分区,这样数组就分成了三部分,A[0…p-1]、A[p]、A[p+1…n-1]。(当然 pivot 的选择还可以优化,这里我们只用其中的一种方式)
如果 p+1 = K,那 A[p] 就是要求解的元素;如果 K > p+1;说明第 K 大元素出现在 A[p+1…n-1] 区间,再用递归的思路在 A[p+1…n-1] 这个区间内查找。同理,如果 K < p+1,就在 A[0…p-1] 区间查找。
为什么上述解决思路的时间复杂度是 O(n)?
第一次分区查找,需要对大小为 n 的数组执行分区操作,需要遍历 n 个元素。第二次分区查找,只需要对大小为 n / 2 的数组执行分区操作,需要遍历 n/2 个元素。依次类推,分区遍历元素的个数分别为 n、
n/2、n/4、n/8、n/16…直到区间缩小为 1。
若把每次分区遍历的元素个数加起来,就是:n + n/2 + n/4 + n/8+…+1。这是一个等比数列求和。
根据公式最后的和等于 2n - 1。所以时间复杂度就是 O(n)了。
另外,大多情况下我们可能会先这样想:每次取数组中的最小值,将其移动到数组的最前面,然后在剩下的数组中继续找最小值,依次类推,执行 K 次,找到的数据不就是第 K 大元素吗?
虽然这样确实可以实现,但是时间复杂度并不是 O(n)了,而是 O(K * n) 。虽然我们说,时间复杂度前面的系数可以忽略,那不就等于 O(n) 吗?
这个并不能这样理解。当 K 是比较小的常量时,比如 1,2,那最好时间复杂度确实是 O(n);但当 K 等于 n/2 或者 n 时,这种最坏情况下的时间复杂度就是指数级的 O(n^2) 了。
详细代码
import java.util.*;
public class Finder {
public int findKth(int[] a, int n, int K) {
return findKth(a,0,n-1,K);
}
public int findKth(int[] a, int low, int high, int K) {
int part = partation(a,low,high);
if (part - low + 1 == K) {
return a[part];
} else if (part - low + 1 < K) {
return findKth(a, part+1, high, K-part+low-1);
} else {
return findKth(a, low, part-1, K);
}
}
public int partition(int[] a, int low, int high) {
int key = a[low];
while (low < high) {
while (low < high && a[high] <= key) {
high--;
}
a[low] = a[high];
while (low < high && a[low] >= key) {
low++;
}
a[high] = a[low];
}
a[low] = key;
return low;
}
}