导言
pid在工业上的应用占90%以上。但许多没学过自动控制原理的小伙伴着实难以理解,所以我在这里尽我所能,用简单的高数知识给大家讲一些我自己的理解。由于pid在网上有许多可参考的资料,我这里重点分析pid控制器的稳态误差,这是我当时学习时最难理解的地方。据我所知,在其他对pid的介绍里几乎没有过对这方面的详细解释。所以我这里小谈一番。
如想深入了解pid控制器的原理,可参考自动控制原理。(根轨迹法最容易理解,如不必要,可只看时域法与根轨迹法)
本文只针对单位反馈的系统。
本文属个人理解,可能缺乏严谨性
基础知识
-
微分算子
记 ,则 。
s即被称为微分算子。 -
算子表示微分方程
微分方程 。
用算子表示 。
则 ,该式子表示了y与x的关系,即自控中的传递函数。
PID的公式推导
y为输出,x为输入。p,i,d分别为比例,积分,微分系数
移向后,分离x,y,化简,则可求出输出与输入的关系
PID的误差分析
- P控制器:快速抵消干扰
让i和d等于0,则 。由上式可以看出,输入与输出是纯比例的关系,最终稳态时,输出 ,则误差很容易算出 ,所以,但用p控制器必然存在误差,增大p可减小误差,但会降低系统的稳定性。仿真结果:
- PI控制器:消除p控制器的稳态误差(积分消除误差)
即让d=0,则 。因为s代表微分算子,微分乘以常数即为0。观察上式,在稳态时(s的一次及多次项为0), ,即 ,无稳态误差。所以pi控制器无稳态误差和=,但如果i过大,同样不利于系统的稳定。仿真结果:
- PD控制器:提高系统快速性(微分可超前预测)
即让i=0,则 同上述方法,可算出pd控制器的稳态误差为 由于d控制器具有前瞻性,所以可适当调大p以减小稳态误差。故pd控制器提高了系统快速性,也减小了稳态误差,但稳态误差不能为0。仿真结果:
- PID控制器
pid控制器即集合了i与d控制器的综合效果。消除了稳态误差的同时,又提高了快速性与响应能力。仿真结果:
结语
至于pid调参等内容也是很重要的,推荐大家利用matlab仿真,有助于理解。给出matlab代码:
clear,clc;
out=zeros(1,1000);
p=0.5;
i=0.0;
d=0.0;
error=zeros(1,2);
pout=0;
iout=0;
dout=0;
target=20;
for t=2:1000;
error(2) = error(1);
error(1) = target - out(t-1);
pout = p(1) * error(1);
iout = iout + i(1)* error(1);
dout= d(1) * ( error(1) - error(2));
out(t) = pout + iout + dout;
end
tt=1:1000;
plot(tt,out);