Count New String

题目描述

输入描述:

输出描述:

示例1

输入

dbca

输出

10

示例2

输入

dbcad

输出

15

题目大意

给定一个字符串 $S$。并定义操作 $f(S,x,y)$表示对于字符串 $S$，从 $x$到 $y$区间内的每个字符都改为当前位置到 $x$的最大值。
比如，有字符串 $abacaad$，经过 $f(S,1,7)$的操作后，变成 $abbcccd$。而如果经过 $f(S,5,7)$操作后，则变成 $abacaad$，没有变。
现在对于串 $S$，求 $f(f(S,x_1,y_1),x_2-x_1+1,y_2-x_1+1)$有多少种可能。其中， $0\le x_1\le x_2\le y_2\le y_1\le n$。

分析

首先把题目翻译成人话：
对于 $S$，要求 $S$的一段区间变成单调上升，并在这个区间里再选定一段子串变成单调上升，求变化后有多少不同的子串。

首先很容易想到，因为一开始已经在 $S$中选取了一段变成单调上升，那么在这个区间里再进行操作是无意义的。因此 $f(f(S,x_1,y_1),x_2-x_1+1,y_2-x_1+1)$的套娃可以去掉一层，实际上就是一个普通的 $f(S,x,y)$，然后要求有多少个不同的子串。

其次考虑继续简化。想：如果 $x$移动，那么整体的子串影响是比较大的，而如果移动 $y$，那么只会增加一个字符进来，而不会影响到已经有的字符。因此，我们考虑固定 $x$，将 $y$移动，可以发现，对于任意的 $x$，其形成子串的个数就是 $y$可以取的个数，也就是 $x$后面字符的个数。于是考虑固定 $y$在 $n$的位置，然后求不同的后缀，然后对于每个不同的后缀，都去乘上长度即可。

到此，题目被简化成了对于字符串 $S$，所有 $i\in[1,n]$，求所有 $f(S,i,n)$有多少不同的子串。

思路一

用广义后缀自动机，这是各大高校所采取的方法，是省选的内容，作为备战提高 $OIer$，根本不会，因此就是扯一点水一下 $paper$的长度[doge]。

思路二

听 $xinjun$的话( $hu\mathbf{\grave{a}}$)，用了 $HASH$走天下( $xi\mathbf{\grave{a}}$)。

考虑Hash。首先对于每一个后缀，由于它是单调上升的，又只有10个字母，因此它总可以表示成 $aa...a \,bb...b \,cc...c \,... \,jj...j$，转化一下即可以表示成 $n_1a,n_2b,\dots,n_{10}j$。
比如，串 $aaabbbcdddd$可以表示成 $3a,3b,1c,4d$。
此时我们如果考虑从 $a$开始 $d$结尾的子串¹，那么 $a$有 $3$种， $d$有 $4$种，运用组合数学(其实不用，乘法原理)，可知有 $3*4=12$种可能。是不是很简单地解决了后缀个数的问题。

但是事情远没有想象的那么简单，如果有串 $3a,3b,1c,4d$以及 $2a,3b,1c,2d$，那么在统计的时候就会有重复。而且还可能不止这样，有许多种也是有可能的。

因此必须想个办法解决一下。由于这些串的中间部分是相同的，我们可以直接考虑首尾 $a$和 $d$的个数，存在一个 $pair$里,如下：
$(3,4)\qquad(2,2)\qquad(1,3)\qquad(4,1)$
如果有这样4个重复的子串，要求它们的不同子串的个数。看上去很花，排序：
$(4,1)\qquad(3,4)\qquad(2,2)\qquad(1,3)$
现在已经根据 $a$的多少降序排列，接下来我们一个一个考虑：
对于第一个，有 $4$种情况；
对于第二个，有异于上述的 $9$种；
对于第三个，有异于上述的 $0$种；
对于第四个，有异于上述的 $0$种；
因此总共有 $4+9=13$种。²

回顾刚刚的策略，我们对 $d$的数量取当前的 $max$，然后进行乘积求和。
那么具体的策略看官可以自己多试几组，以下给出公式：
$ans+=max*(pair_i.first-pair_{i+1}.first)$
有点类似容斥的感觉。

至于你问不同后缀怎么搞，以及后缀时 $x$移动造成的影响怎么弄……诶，不要问，问就是 $dp$。
至于你问怎么判断中间是相同的……诶，这还真有讲究，虽然思路二一开头就点出了Hash，但是好像分析到现在还没用到。是的就是用Hash，如果对Hash还不是很了解的看官，可以看看我的这篇博客，比较详细的简绍了一下，当然更好是上网搜Hash的专题。我们把中间的字符求下Hash然后就扔进map里，嗯这就方便了嘛！

至此，我们已经完全分析了整道题，真是深藏不露，蒟蒻不敢做啊~
如还有疑问，请看代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 1<<30
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
const int MOD=1e9+7;
vector<pair<int,int> > vec;
map<int,vector<pair<int,int> > > mp;//从未开过如此厚颜无耻的map
char s[MAXN];
int len,dp[MAXN][11];//dp[i][j]表示后缀第i位为止字符j出现了dp[i][j]次，0是‘a’
int main()
{
    scanf("%s",s);len=strlen(s);
    for(int i=len-1;i>=0;i--){
        int x=s[i]-'a';dp[i][x]++;
        for(int j=0;j<=x;j++) dp[i][x]+=dp[i+1][j];
        for(int j=x+1;j<10;j++) dp[i][j]=dp[i+1][j];
    }//dp转移
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<10;i++)
        for(int j=i;j<10;j++){//枚举首尾的两个字符
            mp.clear();
            for(int k=0;k<len;k++)
                if(dp[k][i]&&dp[k][j]){
                    int hash=0;
                    for(int l=i+1;l<j;l++)
                        hash=(1ll*hash*233+dp[k][l])%MOD;//什么？还有人不知道233做进制？不会吧不会吧？
                    mp[hash].push_back(make_pair(dp[k][i],dp[k][j]));//扔进map
                }//求出Hash
            map<int,vector<pair<int,int> > >::iterator it=mp.begin();//迭代器
            for(it;it!=mp.end();it++){
                vec=it->second;
                sort(vec.begin(),vec.end());//回顾上面我们做的过程，先排序
                if(i==j){
                    ans+=vec[vec.size()-1].first;continue;
                }//如果是同个字符
                int maxn=0;
                for(int k=vec.size()-1;k>=0;k--){
                    maxn=max(maxn,vec[k].second);
                    if(k) ans+=1ll*(vec[k].first-vec[k-1].first)*maxn;
                    else ans+=1ll*vec[k].first*maxn;
                }//回顾上面给出的公式
            }
        }
    printf("%lld\n",ans);
}

END

这是我写得最累的一篇题解了……