膜膜膜

Tiw 永远的神！

引入

拉格朗日反演及其扩展用于求一类 $F(G(x)) = H(x)$ 的问题，其中 $F(x), H(x)$ 为已知多项式函数， $G(x)$ 为待求函数。但其只能在 $O(n \log n)$ 的时间内求得 $G(x)$ 的某一项系数。

拉格朗日反演

拉格朗日反演用于在 $O(n \log n)$ 的时间求 $[x^n]G(x)$（ $[x^n]G(x)$ 表示 $G(x)$ 的 $n$ 次项的系数，下同），其中 $G(x)$ 满足 $F(G(x)) = x$， $F(x)$ 为已知多项式，而 $G(x)$ 又称为 $F(x)$ 的复合逆。

有一个结论是若 $F(G(x)) = x$，则 $G(F(x)) = x$。
感性理解是把 $F(x)$ 作为 $x$ 代入 $F(G(x)) = x$ 得到 $F(G(F(x))) = F(x)$，再把最外层的 $F(x)$ 拆掉即可，然而这显然是 错误 的证法，因为多项式函数一般不是单调（即不是双射，没有一一对应）的。当然你也可以理解为 $F(x)$ 和 $G(x)$ 互为反函数（事实上非双射的函数也没有反函数），这个结论就显然成立了。具体证法我没找到，所以就咕着吧

于是可以看出， $[x^0]F(x) = [x^0]G(x) = 0, [x^1]F(x) \neq 0, [x^1]G(x) \neq 0$，不然最终结果不可能只剩下一个 $x$。
接下来开始推导，令 $G(x) = \sum_{i = 1}^{n} g_i \cdot x^i\ (g_1 \neq 0)$，代入 $G(F(x)) = x$ 得到 $\sum_{i = 1}^{n} g_i \cdot F^i(x) = x$ 两边同时求导（注意 $F^i(x)$ 是幂函数与多项式函数的复合函数求导）得 $\sum_{i = 1}^{n} g_i \cdot i \cdot F^{i - 1}(x) \cdot F'(x) = 1$ 要求 $n$ 次项，就将 $n$ 次项提出，得到 $n \cdot g_n \cdot F^{n - 1}(x) \cdot F'(x) + \sum_{i = 1}^{n - 1} g_i \cdot i \cdot F^{i - 1}(x) \cdot F'(x) = 1$ 两边同时除以 $F^{n}(x)$ 得 $n \cdot g_n \cdot \frac{F'(x)}{F(x)} + \sum_{i = 1}^{n - 1} g_i \cdot i \cdot F^{i - n - 1}(x) \cdot F'(x) = \frac{1}{F^{n}(x)}$ 注意到 $\left( F^k(x) \right)' = kF^{k - 1}(x)F'(x)$ 即 $F^{k}(x)F'(x) = \dfrac{\left( F^{k + 1}(x) \right)'}{k + 1}$，代入上式中得 $n \cdot g_n \cdot \frac{F'(x)}{F(x)} + \sum_{i = 1}^{n - 1} g_i \cdot \frac{i}{i - n} \cdot \left( F^{i - n}(x) \right)' = \frac{1}{F^{n}(x)}$ 这时应满足对应系数相等，为了只留下 $g_n$ 项，我们观察发现，由于 $F(x)$ 没有常数项，于是 $F^{i - n}(x)$ 没有常数项，于是 $\left( F^{i - n}(x) \right)'$ 没有 $-1$ 次项！所以考虑等式两边同时取 $-1$ 次项： $[x^{-1}]n \cdot g_n \cdot \frac{F'(x)}{F(x)} = [x^{-1}]\frac{1}{F^{n}(x)}$ 对于等式右边： $[x^{-1}]\frac{1}{F^{n}(x)} = [x^{n - 1}]\frac{x^n}{F^{n}(x)} = [x^{n - 1}]\frac{1}{\left( \frac{F(x)}{x} \right)^n}$ 对于等式左边： $\begin{aligned} \frac{F'(x)}{F(x)} &= \frac{f_1 + 2f_2x + 3f_3x^2 + \cdots + nf_nx^{n - 1}}{f_1x + f_2x^2 + \cdots + f_nx^n} \\ &= \frac{f_1 + 2f_2x + 3f_3x^2 + \cdots + nf_nx^{n - 1}}{f_1x(1 + \frac{f_2}{f_1}x + \cdots + \frac{f_n}{f_1}x^{n - 1})}\end{aligned}$ 令 $p(x) = (1 + \frac{f_2}{f_1}x + \cdots + \frac{f_n}{f_1}x^{n - 1})^{-1}$ 于是 $\begin{aligned} \frac{F'(x)}{F(x)} &= \frac{f_1 + 2f_2x + 3f_3x^2 + \cdots + nf_nx^{n - 1}}{f_1x} \cdot p(x) \\ &= (x^{-1} + \frac{2f_2}{f_1} + \frac{3f_3}{f_1}x + \cdots + \frac{nf_n}{f_1}x^{n - 2})\cdot p(x)\end{aligned}$ 显然 $p(x)$ 常数项为 $1$，于是 $[x^{-1}]\frac{F'(x)}{F(x)}=1$ 于是 $n⋅g_n = [x^{n - 1}]\frac{1}{\left( \frac{F(x)}{x} \right)^n}$ 即 $g_n = \frac{1}{n} \cdot [x^{n - 1}]\frac{1}{\left( \frac{F(x)}{x} \right)^n}$ 多项式快速幂（ $\exp$ + $\ln$）+ 多项式求逆即可。

扩展拉格朗日反演

扩展拉格朗日反演用于在 $O(n \log n)$ 的时间求 $[x^n]G(x)$（ $[x^n]G(x)$ 表示 $G(x)$ 的 $n$ 次项的系数，下同），其中 $G(x)$ 满足 $G(F(x)) = H(x)$， $F(x), H(x)$ 为已知多项式。

事实上推导过程几乎一样，只是最开始的求导 $(x)' = 1$ 变为了 $(H(x))' = H'(x)$，于是 $g_n = \frac{1}{n} \cdot [x^{n - 1}]\frac{H'(x)}{\left( \frac{F(x)}{x} \right)^n}$

说白了，拉格朗日反演就是扩展拉格朗日反演中 $H(x) = x$ 的一种特殊情况而已。

注意

拉格朗日反演的运用大多是“知外求内”，但它也可以“知内求外”，并且我们证明的时候也是证的“知内求外”，但是扩展拉格朗日反演只能“知内求外”（因为扩展拉格朗日反演没有那个交换内外层函数的定理）！

例题

• （拉格朗日反演）[BZOJ 3684] 大朋友和多叉树
• （扩展拉格朗日反演）[洛谷 5827] 点双连通图计数
• （扩展拉格朗日反演）[洛谷 5828] 边双连通图计数