拓展 BSGS
前置芝士?
上个 \(BSGS\) 的没有写是因为可以水博客(大雾
作用
和 \(BSGS\) 一样,不过是 \(gcd(y,p)\not= 1\) 的情况
推导过程
\[y^x\equiv z(mod~p) \]
令 \(d=gcd(y,p)\)
将方程改写为等式形式
\[y^x+kp=z \]
发现此时的 \(z\) 必须是 \(d\) 的倍数,否则无解
因此,除掉 \(d\)
\[\dfrac{y}{d}y^{x-1}+k\dfrac pd=\dfrac zd \]
这样前面的 \(y/d\) 就是一个系数了,
不断检查 \(gcd(\frac zd,y)\) ,一直除到互质为止
此时方程就变为
\[\dfrac{y^k}{d}y^{x-k}\equiv\dfrac zd(mod~\dfrac pd) \]
然后用 \(BSGS\) 求解完还原回去就行了
例题
SP3105 MOD - Power Modulo Inverted
思路
真的是模板,连套路都没有
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define re register
using namespace std;
const int HashMod=123456;
inline int read(){
re int x=0,f=1;
re char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int fpow(int a,int b,int mod)
{
int s=1;
while(b){
if(b&1)
s=1ll*s*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;
b>>=1;
}
return s;
}
struct HashTable//hash表
{
struct Line{ int u,v,next;}e[1000000];
int h[HashMod],cnt;
void add(int u,int v,int w)
{
e[++cnt]=(Line){w,v,h[u]};h[u]=cnt;
}
void Clear(){memset(h,0,sizeof(h));cnt=0;}
void Hash(int x,int k){
int s=x%HashMod;
add(s,k,x);
}
int query(int x){
int s=x%HashMod;
for(re int i=h[s];i;i=e[i].next)
if(e[i].u==x) return e[i].v;
return -1;
}
}Hash;
void ex_BSGS(int y,int z,int p){
if(y%p==0){
puts("No Solution");
return ;
}
y%=p;z%=p;
if(z==1) {
puts("0");
return ;
}
int k=0,a=1;
while(1)
{
int d=__gcd(y,p);if(d==1)break;
if(z%d){puts("No Solution");return;}
z/=d;p/=d;++k;a=1ll*a*y/d%p;
if(z==a){printf("%d\n",k);return;}
}
int m=sqrt(p)+1;Hash.Clear();
for(re int i=0,t=z;i<m;i++,t=1ll*t*y%p) Hash.Hash(t,i);
for(re int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=1ll*a*tt%p;i<=m;i++,t=1ll*t*tt%p)
{
int b=Hash.query(t);
if(b==-1) continue;
printf("%d\n",i*m-b+k);
return ;
}
puts("No Solution");
}
int main()
{
int x,z,k;
while(233)
{
x=read();z=read();k=read();
if(x==0&&z==0&&k==0)break;
ex_BSGS(x,k,z);
}
return 0;
}