什么是树?
一、概念
二、特点
n=0时,称为空树 ;
在任意一颗非空树中: ① 有且仅有一个根结点 ② 当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树 。
三、结点分类
结点拥有的子树数称为结点的度(Degree) ;
度为0的结点称为叶结点(Leaf) 或 终端结点 ;度不为0的结点称为非终端结点 或 分支结点 ;
除根节点之外,分支结点也称为内部结点 ;
树的度 是树内结点的度的最大值。
四、结点间关系
结点的子树的根称为该节点的孩子(Child),相应地,该结点称为孩子的双亲(Parent);
同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling);
结点的祖先是从根结点到该节点所经分支上的所有结点(包括根结点);
以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
五、树的其他概念
结点的层次(Level)从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层。
双亲在同一层的结点互称为堂兄弟。
树中结点的最大层次称为书的深度(Depth)或高度。
如果左右子树是有次序的,不能互换的,则称该树为有序树,否则称为无序树。
森林(Forest)是m(m >= 0)课互不相交的树的集合。
六、线性结构 VS 树结构
线性结构
树结构
第一个数据元素:无前驱
根结点:无双亲,唯一
最后一个数据元素:无后续
叶结点:无孩子,可以多个
中间元素:一个前驱,一个后续
中间结点:一个双亲,多个孩子
七、树的抽象数据类型
ADT 树(tree)
树是由一个根结点和若干课子树构成。树中结点具有相同数据类型及层次关系。
Operation
root:返回根结点。
nodes:树的结点数
depth:树的深度
. . .
EndADT
二叉树
一、概念
n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(空二叉树),或者为由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
每个结点最多有两颗子树;
左子树和右子树是有顺序的;
一个结点如果只有一颗子树,也要区分左右;
斜树 :所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树,反之,叫右斜树;
满二叉树 :所有结点都存在左右子树,并且所有叶结点都在同一层上。
完全二叉树 :对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置相同。
二、二叉树的基本形态
空二叉树(没有结点,包括根结点)
只有一个根结点
根结点只有左子树
根结点只有右子树
根结点有左右子树
三、二叉树的特点
在二叉树的第i层最多有2(i-1) 的结点(i>=1)。(最多结点的二叉树是满二叉树,除了叶结点,所有结点的度都为2,所以,第i层最多有2(i-1) 个结点)
深度为k的二叉树至多有2k-1 个结点(k>=1)。(由性质1可以每层的结点数,则k(k>=1)层二叉树总共节点数为:n = 20 + 21 + … 2(k-1) =1*(1-2k )/(1-2) = 2k - 1)
对任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0 ,度为2的结点数为n2 ,则n0 = n2 +1。(二叉树的总结点数为:n = n0 + n1 + n2 (n0 为叶结点,n1 为度为1的结点数,n2 为度为2的结点数);那么结点数为n的二叉树有多少条连接线呢?很明显每个结点,除了根结点都有指向连接线,所以,结点数为n的二叉树的总连接线为n-1;从一个结点的度来算,度为1的结点会有1条连接线,连接子结点;度为2的结点会有2连接线,连接子结点;根结点没有双亲结点,所以没有连向根结点的连接线,那么有:n-1 = 1n0 + 2 n2 ;和第一条方程式联合可得:n0 =n2 +1)
具有n个结点的完全二叉树的深度为⎣log2(n)⎦ + 1(⎣x⎦表示不大于x的最大整数)。
如果对一颗有n个结点的完全二叉树(其深度为|log2(n)| + 1)的结点按层编号(从第1层到第|log2(n) + 1|层,每层从左到右),对任一结点i(1 <= i <= n)有: 如果i=1,则结点i是二叉树的根结点,无双亲;如果i>1,则其双亲是结点|i/2|。 如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子是结点2i。 如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子是结点2i+1。
四、二叉树遍历
二叉树的遍历是指从根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中所有结点,使得每个结点被访问有且仅有一次。
class BinTNode< T> : NSObject{
var data: T
var lChild: BinTNode< T> ?
var rChild: BinTNode< T> ?
init ( _ data: T) {
self . data = data
}
}
前序遍历:若二叉树为空,则返回;否则,先遍历根结点,然后遍历左子树,再遍历右子树。
func preOrderTraverse ( t: BinTNode< String> ? ) {
guard let tNode = t else {
return
}
print ( tNode. data)
preOrderTraverse ( t: tNode. lChild)
preOrderTraverse ( t: tNode. rChild)
}
中序遍历:如果二叉树为空,则返回;否则,从根结点开始,先遍历左子树,然后是根结点,左后是右子树。
func inOrderTraverse ( t: BinTNode< String> ? ) {
guard let tNode = t else {
return
}
inOrderTraverse ( t: tNode. lChild)
print ( tNode. data)
inOrderTraverse ( t: tNode. rChild)
}
后续遍历:如果二叉树为空,则返回;否则,从根结点开始,先遍历左子树,然后遍历右子树。
func postOrderTraverse ( t: BinTNode< String> ? ) {
guard let tNode = t else {
return
}
postOrderTraverse ( t: tNode. lChild)
postOrderTraverse ( t: tNode. rChild)
print ( tNode. data)
}
层序遍历:如果二叉树为空,则返回;否则,从树的第一层,根结点开始访问,从上而下逐层遍历,在同一层中,按从左到右的顺序逐个结点访问。
func layerOrderTraverse ( t: BinTNode< String> ? ) {
guard let tNode = t else {
return
}
var array: [ BinTNode< String> ] = [ tNode]
while ! array. isEmpty {
let count = array. count
for i in 0. . . count- 1 {
let node = array[ i]
print ( node. data)
if let lNode = node. lChild {
array. append ( lNode)
}
if let rNode = node. rChild {
array. append ( rNode)
}
}
array. removeSubrange ( Range. init ( NSRange ( location: 0 , length: count) ) ! )
}
}