1.归并排序
(1).介绍
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法(DivideandConquer)的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并,得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序,再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表,称为二路归并。
归并排序的时间复杂度是O(nlogn). 速度快,同时归并排序是稳定的排序,即相等的元素的顺序不会改变，如输人记录1(1) 3(2) 2(3) 2(4)5(5) (括号中是记录的关键字)时输出的1(1) 2(3) 2(4)3(2) 5(5)中的2和2是按输人的顺序。这对要排序数据包含多个信息而要按其中的某一个信息排序，要求其它信息尽量按输人的顺序排列时很重要，这也是它比快速排序优势的地方。
(2).实现
2-路归并排序的原理是，将序列两两分组，将序列归并为n/2个组，组内单独排序;然后将这些组再两两归并，生成n/4个组，组内再单独排序;以此类推，直到只剩下一个组为止。
下面来看一一个例子，要将序列{66, 12, 33, 57, 64, 27, 18}进行2-路归并排序。
①第一趟。两两分组，得到四组: {66, 12}、 {33,57}、 {64,27}、 {18}, 组内单独排序，得到新序列{12, 66}, {33, 57}, {27, 64}, {18}}.
②第二趟。将四个组继续两两分组，得到两组: {12, 66, 33,57}、{27, 64, 18}，组内单独排序，得到新序列{{12, 33, 57, 66}, {18, 27, 64}}.
③第三趟。将两个组继续两两分组，得到一组: {12, 33, 57, 66, 18, 27, 64},组内单独排序，得到新序列{12, 18, 27, 33, 57, 64, 66}。算法结束。
(3).代码
//归并排序模板
const int maxn = 1e5 + 10;
int a[maxn],b[maxn];
void msort(int l, int r)
{
if (l == r) return; //如果只有一个数字则返回，无需排序
int mid = (l + r) / 2;
msort(l, mid); //分解左序列
msort(mid + 1, r); //分解右序列
int i = l, j = mid + 1, k = l;
while (i <= mid && j <= r)
{
if (a[i] <=a[j])
{
b[k] = a[i]; k++; i++;
}
else
{
b[k] = a[j]; k++; j++;
}
}
while (i <= mid) //复制左边子序列剩余
{
b[k] = a[i]; k++; i++;
}
while (j <= r) //复制右边子序列剩余
{
b[k] = a[j]; k++; j++;
}
for (int i = l; i <= r; i++)
{
a[i] = b[i];
}
}
简化版
const int maxn = 1e5 + 10;
int q[maxn], tmp[maxn];
void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
if (l >= r) return; //如果只有一个数字或没有数字，则无需排序
int mid = l + r >> 1;
merge_sort(q, l, mid); //分解左序列
merge_sort(q, mid + 1, r); //分解右序列
int k = l, i = l, j = mid + 1;
while (i <= mid && j <= r) //合并
{
if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];
else tmp[k++] = q[j++];
}
while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++]; //复制左边子序列剩余
while (j <= r) tmp[k++] = q[j++]; //复制右边子序列剩余
for (int i = l; i <= r; i++) q[i] = tmp[i];
}
2.逆序对
(1).介绍
上述提到归并排序是稳定的排序，相等的元索的顺序不会改变，进而用其可以解决逆序对的问题。音先我们了解一下什么是逆序对。
逆序对:设 A为一个有n个数字的有序集(n>1),其中所有数字各不相同。如果存在正整数i,j使得1≤i<j≤n而且A[i]> A[j].则<A[i],A[j]>这个有序对称为A的一个逆序对，也称作逆序数。
例如，数组(3,1,4.5,2)的逆序对有(3,1),(3,2),(4,2).(5.2)，共4个。
所谓逆序对的问题，即对给定的数组序列,求其逆序对的数量。
从逆序对定义上分析，逆序对就是数列中任意两个数满足大的在前,小的在后的组合。如果将这些逆序对都调整成顺序(小的在前，大的在后),那么整个数列就变得有序，即排序。因面，容易想到冒泡排序的机制正好是利用消除逆序来实现排序的，也就是说，交换相邻两个逆序数，最终实现整个序列有序，那么交换的次数即为逆序对的数量。
冒泡排序可以解决逆序对问题，但是由于冒泡排序本身效率不高，时间复杂度为O(n^2),对于n比较大的情况就没用武之地了。我们可以这样认为，冒泡排序求逆序对效率之所以低，是因为其在统计逆序对数量的时候是一对一对统计的，而对于范围为n的序列，逆序对数量最大可以是(n+1)*n/2,因此其效率太低.那怎样可以一下子统计多个，而不是一个一个累加呢?这个时候，归并排序就可以帮我们来解决这个问题。
在合并操作中，我们假设左右两个区间元素为：
左边：{3 4 7 9} 右边：{1 5 8 10}
那么合并操作的第一步就是比较3和1,然后将1取出来放到辅助数组中,这个时候我们发现，右边的区间如果是当前比较的较小值，那么其会与左边剩余的数字产生逆序关系，也就是说1和3、4、7、9都产生了逆序关系，我们可以一下子统计出有4对逆序对。接下来3,4取下来放到辅助数组后，5与左边剩下的7、9产生了逆序关系，我们可以统计出2对。依此类推,8与9产生1对,那么总共有4+2+1对。这样统计的效率就会大大提高，便可较好地解决逆序对问题。
而在算法的实现中，我们只需略微修改原有归并排序,当右边序列的元素为较小值时，就统计其产生的逆序对数量，即可完成逆序对的统计。.
(2).代码
void msort(int l, int r)
{
if (l == r) return; //如果只有一个数字则返回，无需排序
int mid = (l + r) / 2;
msort(l, mid); //分解左序列
msort(mid + 1, r); //分解右序列
int i = l, j = mid + 1, k = l;
while (i <= mid && j <= r)
{
if (a[i] <= a[j])
{
b[k] = a[i]; k++; i++;
}
else
{
b[k] = a[j]; k++; j++;
ans += mid - i + 1; //统计产生逆序对的数量
}
}
while (i <= mid) //复制左边子序列剩余
{
b[k] = a[i]; k++; i++;
}
while (j <= r) //复制右边子序列剩余
{
b[k] = a[j]; k++; j++;
}
for (int i = l; i <= r; i++)
{
a[i] = b[i];
}
}
其中，ans+=mid-i+1 这句代码统计新增逆序对的数量，ans作为全局变量，用于统计逆序对的数量，此时ans要增加左边剩余元素的个数。当归并排序结束后，逆序对也得到解决，ans即为逆序对的数量。
3.例题
(1).题目
AcWing-107. 超快速排序 链接: 点击这里.
在这个问题中，您必须分析特定的排序算法----超快速排序。
该算法通过交换两个相邻的序列元素来处理n个不同整数的序列，直到序列按升序排序。
对于输入序列9 1 0 5 4，超快速排序生成输出0 1 4 5 9。
您的任务是确定超快速排序需要执行多少交换操作才能对给定的输入序列进行排序。
输入格式
输入包括一些测试用例。
每个测试用例的第一行输入整数n，代表该用例中输入序列的长度。
接下来n行每行输入一个整数ai,代表用例中输入序列的具体数据，第i行的数据代表序列中第i个数。
当输入用例中包含的输入序列长度为0时，输入终止，该序列无需处理。
输出格式
对于每个需要处理的输入序列，输出一个整数op，代表对给定输入序列进行排序所需的最小交换操作数，每个整数占一行。
数据范围
0≤N<500000,
0≤ai≤999999999
输入样例：
5
9
1
0
5
4
3
1
2
3
0
输出样例：
6
0
(2).代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int maxn = 5e5 + 10;
int a[maxn], b[maxn];
long long ans;
using namespace std;
void msort(int l, int r)
{
if (l == r) return; //如果只有一个数字则返回，无需排序
int mid = (l + r) / 2;
msort(l, mid); //分解左序列
msort(mid + 1, r); //分解右序列
int i = l, j = mid + 1, k = l;
while (i <= mid && j <= r)
{
if (a[i] <= a[j])
{
b[k] = a[i]; k++; i++;
}
else
{
b[k] = a[j]; k++; j++;
ans += mid - i + 1;
}
}
while (i <= mid) //复制左边子序列剩余
{
b[k] = a[i]; k++; i++;
}
while (j <= r) //复制右边子序列剩余
{
b[k] = a[j]; k++; j++;
}
for (int i = l; i <= r; i++)
{
a[i] = b[i];
}
}
int main()
{
int n;
while (cin >> n && n)
{
ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> a[i];
}
msort(0, n - 1);
cout << ans <<endl;
}
return 0;
}
参考书籍：《信息学奥赛一本通》，《算法笔记.胡凡》，将其中讲解的很好的内容搬运过来并加以整理，方便各位对归并排序和逆序对的学习。