使用贪心法,将第k位定义成长为k的LIS末端可能的最小值。思路如下
我们构建的存储答案的数组(暂且称为dp数组),其第
位表示:长度为
的LIS中,末端元素最小的那个LIS的末端元素。
①扩展情形:
- 条件:如果要扩展出
长的LIS,那么对当前读入的
tmp
,必须要有长为 的LIS且末端元素比tmp
小。 - 事实:而我们先前已经得到长为
的LIS,其末端元素存储为
dp[ptr-1]
,所以如果末端元素dp[ptr-1]
比tmp
小,那么就能实现前述的条件。 - 结果:长度增加,获得更优解。
②替换情形:
- 条件:如果
tmp
能够小于序列中任一元素,假设为 ,那么说明,其能构成长为k
的LIS - 事实:
dp
数组是单调增的。所以我们可以通过二分找到其能构成的最长的LIS。 - 结果:通过替换,虽然不能找到更长的子序列,但是使得我们获得了一个比原有长度为
k
的最优解末端更小的LIS,同时(由于从递增序列中查找)这个替换是最优的。不会比原来更差。
综上得到LIS最大长度。
另外,考虑到使用这种思路得多写几个ptr+1
(x奉劝自己不要这么懒
最终决定把这些元素分别回退一格,将第k
长的最优解保存至k-1
处
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005], ptr = 0, tmp;
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> tmp;
if (ptr == 0 || dp[ptr-1] < tmp)
dp[ptr++] = tmp;
else {
auto it = upper_bound(dp, dp+ptr, tmp);
if(it == dp+ptr) continue;//说明全同,即没有上升区间,要防止尾端扩展。
*it = tmp;
}
}
cout << ptr << endl;
}
如果我们对它稍加变化,还能使得逻辑更清晰。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005], ptr = 0, tmp;
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> tmp;
auto it = upper_bound(dp, dp + ptr, tmp);
if (it == dp + ptr)//搜到末端
if (*(it-1) < tmp || ptr == 0)//如果不全同、或者本来没有元素
dp[ptr++] = tmp;
else continue;//这说明全同。
else *it = tmp;//在中部发现所需
}
cout << ptr << endl;
}