1. Fourier级数基本概念
1.1. 概念准备
1.1.1. 三角函数系的正交
∫−ππcosmxcosnxdx=⎩⎪⎨⎪⎧0,π,2π,m=nm=n=0m=n=0, m,n=0,1,2⋯
∫−ππsinnxsinmxdx={0,π,m=nm=nm,n=1,2,⋯
∫−ππsinnxcosnxdx=0, m=0,1,2⋯,n=0,1,2⋯
利用和差化积即可。
注意推导中一个常用的想法是:几倍于
2π周期的三角函数,在
∫−ππ上积分为0.
1.1.2. 一种特殊的函数项级数——三角级数
2a0+k=1∑∞(akcoskx+bksinkx)
1.1.3. 分段分析性质
- 分段连续:闭区间上除去有限个第一类间断点外处处连续
- 分段单调:闭区间上只有有限个单调区间
- 分段可导:分段连续,且在这些间断点上左右广义导数存在
例 广义右导数:其中
f(x0+0)为右极限
Δx→0+0limΔxf(x0+Δx)−f(x0+0)
分段(一阶)光滑:分段连续,导数分段连续,分段可导,那么分段光滑
分段光滑函数的性质:
-
f(x)在
[a,b]上可积
-
f′(x)在
[a,b]上可积
1.2. Fourier系数
欲求
ak,bk,我们利用三角函数正交性的几个理论结果,我们对三角级数两侧分别乘
coskx,sinkx得到
an=π1∫−ππf(x)cosnxdx,(n=0,1,2⋯)bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx,(n=1,2⋯)
1.3. 可以展成Fourier级数的条件
两种Dirichlet条件:
(逐点收敛定理)Dirichlet定理:满足Dirichlet条件的函数可以展成Fourier级数。
或者说其对应Fourier级数收敛到该点的广义左右极限的平均值
2f(x−0)+f(x+0)
此时,前
n项和函数为
Sn(x)=π1∫−ππf(x+t)2sin21tsin(n+21)tdt
这个积分称为Dirichlet积分。
1.4. Fourier级数的性质
(系数的趋势)设
f(x)在
[−π,π]上可积或绝对可积,则其Fourier系数满足:
n→∞liman=0,n→∞limbn=0
(Fourier级数的逐项积分定理)
∀x,c∈[−π,π]:
∫cxf(t)dt=∫cx2a0dt+n=1∑∞(an∫cxcosntdt+bn∫cxsinntdt)
这表明即便是
f(x)的Fourier级数不收敛,它的逐项积分收敛到
f(x)的积分,这是Fourier积分的特有性质
1.5. 题型:Fourier级数的展开计算
- Step1:分析函数是否满足Dirichlet条件
- Step2:计算Fourier系数
- Step3:分间断点和连续点讨论Fourier级数表达式
1.5.1. 常用化简结构:
∫0πxcosnxdx=n21cosnx∣∣∣0π=n21[(−1)n−1]
∫0πxsinnxdx=−nπ(−1)n
1.5.2. 拓展题型
1.5.2.1. 不以
2π为周期
在计算的时候,将原问题中的
π1换成
T2或表示成
l1
1.5.2.2. 奇偶延拓
区间形如
[0,l]的任意函数,都可以通过延拓构造出类似周期函数的结构,这样就可以使用Fourier级数展开。随后将定义域缩小即可。
在数学物理方法中,这称作半幅Fourier级数。除了通常的奇延拓(对应半幅正弦级数)和偶延拓
ϕ(x)=n=1∑∞CnsinLnπx=D0+n=1∑∞DncosLnπx
之外,还可以有非整数系数的三角级数:
ϕ(x)=n=1∑∞Cnsin2L(2n+1)πx
这在有限区间尤其是边值问题当中有广泛应用。
例题:
这个例题综合了这两个拓展问题,值得研究