概念
AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下。因此,两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度。
特点
一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1
- 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在 ,O(log2n)搜索时间复杂度O(log2n)。
实现
AVL树节点定义
相比搜索树多了一个父亲节点与平衡因子,平衡因子只能是-1 0 1。
template<class T>
struct AVLTreeNode {
AVLTreeNode(const T& k)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_data(k)
,_bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _left;
AVLTreeNode<T>* _right;
AVLTreeNode<T>* _parent;
T _data;
int _bf;
};
AVL树的插入
AVL树相比于普通搜索树,多了一个平衡因子。
因此插入分为两步:
- 按照搜索树规则进行插入
- 更新平衡因子
bool Insert(const T& k) {
if (_root == nullptr) {//空树直接创建
_root = new Node(k);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_data > k) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_data < k) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else {//相等不插入
return false;
}
}
//找到空位置 创建节点进行插入
cur = new Node(k);
if (parent->_data > k) {
parent->_left = cur;
}
else {
parent->_right = cur;
}
cur->_parent = parent;//三叉链还得更新父亲
while (parent) {
if (cur == parent->_left) {
parent->_bf--;
}
else {
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0) {//说明平衡因子只对当前parent造成改变,并不影响上层
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {//从0到-1 1 因此改变了该路径上的平衡因子
//向上迭代及进行平衡因子的更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//不平衡出现了需要进行旋转
if (parent->_bf == 2) {
if (cur->_bf == 1) {
RotateL(parent);
}
else if (cur->_bf == -1) {
RotateRL(parent);
}
}
else if (parent->_bf == -2) {
if (cur->_bf == -1) {
RotateR(parent);
}
else if (cur->_bf == 1) {
RotateLR(parent);
}
}
}
}
}
AVL树的旋转
当平衡因子成为-2 / 2 时 就需要进行旋转处理从而使这棵AVL树重新变成平衡搜索二叉树。
AVL的旋转针对不同的情况一共有四种。
- 新节点插入较高左子树的左侧 – 左左:右单旋
- 新节点插入较高右子树的右侧 – 右右:左单旋
- 新节点插入较高左子树的右侧—左右:先左单旋再右单旋
- 新节点插入较高右子树的左侧—右左:先右单旋再左单旋
下面对四种方式进行逐一说明:
右单旋一句话概括就是 parent成为它左孩子节点的右孩子节点,它的左孩子节点的右孩子节点成为了parent的左孩子节点
void RotateR(Node* parent) {
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subL ;
subL->_left = parent;
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr) {
subLR->_parent = parent;
}
subL->_parent = pparent;
if (pparent == nullptr) {//根节点
_root = subL;
}
if (pparent->_left == parent) {
pparent->_left = subL;
}
else {
pparent->_right = subL;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;//更新平衡因子
}
左单旋和右单旋类似
void RotateL(Node* parent) {//左单旋针对的是最最最右边不平衡
//需要将父节点的右子树更新成根节点
//并将该右子树的左子树成为父节点新的右子树
//跟新其余相关节点即可
Node* subL = parent->_left;
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* pparent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
parent->_right = subRL;
if (subRL) {
subRL->_parent = parent;
}
subR->_parent = pparent;
if (pparent == nullptr) {
_root = subR;
}else if (pparent->_left == parent) {
pparent->_left = subR;
}
else {
pparent->_right = subR;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
左右旋和右左旋转相似这里给出左右旋转
void RotateLR(Node* parent) {
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(subL);
RotateR(parent);
if (bf == 1) {
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1) {
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else {
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
}
AVL树的查找
AVL树的查找和普通搜索二叉树类似。这里不加赘述。
但是相较于性能就有了一定程度的提升,AVL树因为有平衡因子的控制导致不会有单支树的极端情况出现,在任意时刻查找的时间复杂度都是O(log2N).