三重循环算法复杂度及探究

原题

求如下一个三重循环程序的算法复杂度

for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=i;j++)
        for(k=1;k<=j;k++)
            m++；

二重循环

我们先来看一下一个标准的二重循环程序的复杂度是如何求的

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)
        m++;

这个算法与冒泡排序的复杂度一样是\(O(n^2)\)
计算过程如下:

\[\sum_{j=1}^{i}\sum_{i=1}^{n}1=\sum_{j=1}^{i}(1+1+...+1)=\sum_{j=1}^{n}j=1+2+3+...+n=\frac{n*(n+1)}{2} \]

三重循环

重新回到题目，可以得出以下计算步骤:

\[\sum_{k=1}^{j}\sum_{j=1}^{i}\sum_{i=1}^{n}1=\sum_{k=1}^{n}(\frac{k*(k+1)}{2})=\frac{1}{2}[\sum_{k=1}^{n}(k^2)+\sum_{k=1}^{n}k] \]

此时需要用到另外一个求和公式:\(S(n)=1+2^2+...+n^2=\frac{n*(n+1)*(2n+1)}{6}\)

推导步骤如下:

\[\begin{aligned} n^3-(n-1)^3&=3n^2-3n+1 \\ (n-1)^3-(n-2)^3&=3n^2-9n+7=3(n-1)^2-3(n-1)+1\\ &...\\ 2^3-1^3&=7=3*2^2-3*2+1\\ \end{aligned} \]

将上述式子相加，即:

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}[i^3-(i-1)^3]&=n^3-1=3[n^2+(n-1)^2+...2^2]-3(n+n-1+...+2)+n-1\\ n^3&=3[n^2+(n-1)^2+...1^2]-3(n+n-1+...+1)+n\\ &=3S(n)-3\frac{n*(n+1)}{2}+n\\ S(n)&=[n^3-n+3\frac{n(n+1)}{2}]/3=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{aligned} \]

则原式可得:

\[\frac{1}{2}[\sum_{k=1}^{n}(k^2)+\sum_{k=1}^{n}k]=\frac{S(n)+\frac{n(n+1)}{2}}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} \]

编写程序验证，完全吻合结果:

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ld long double
using namespace std;
void f1(int n){
    ll cnt=0;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=i;j++)
            for(ll k=1;k<=j;k++)
                cnt++;

    cout<<cnt<<" ";
    ll res=(ll)n*(n+1)*(n+2)/6;//公式法
    cout<<res<<" ";
    cout<<((ld)1.0*cnt/res?"true":"false")<<endl;
}
int main()
{
    for(int i=1;i<=100;i++)
        f1(i);
    return 0;
}

进一步探究

若修改\(k\)的范围为\([1 - mj]\),则易知复杂度应为原式乘以\(m\)
若修改\(i\)的范围为\(mn\)，则易知复杂度为原式用\(mn\)带入
若修改\(j\)的范围为\([1-mi]\),则复杂度为原式\(*(2^2)^{log_{x}{m}}+C\),使用极限计算可得

\[ans=\frac{n(n+1)((2^2)^{log_{2}{m}})*n+2+C)}{6} \quad C为常数 \]