盛最多水的容器
盛最多水的容器
1、题目
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给你 n 个非负整数 a1,a2,…,an,每个数代表坐标中的一个点 (i, ai) 。在坐标内画 n 条垂直线,垂直线 i 的两个端点分别为 (i, ai) 和 (i, 0)。找出其中的两条线,使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。
说明:你不能倾斜容器,且 n 的值至少为 2。
图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下,容器能够容纳水(表示为蓝色部分)的最大值为 49。
2、思路(双指针解法)
在一开始,我们考虑相距最远的两个柱子所能容纳水的面积。水的宽度是两根柱子之间的距离 d = 8
;水的高度取决于两根柱子之间较短的那个,即左边柱子的高度 h = 3
。水的面积就是 3 * 8 = 24
。
如果选择固定一根柱子,另外一根变化,水的面积会有什么变化吗?稍加思考可得:
- 当前柱子是最两侧的柱子,
水的宽度 d
为最大,其他的组合,水的宽度都比这个小。 - 左边柱子较短,决定了水的高度为
3
。如果移动左边的柱子,新的水面高度不确定,一定不会超过右边的柱子高度7
。 - 如果移动右边的柱子,新的水面高度一定不会超过左边的柱子高度
3
,也就是不会超过现在的水面高度。
由此可见,如果固定左边的柱子,移动右边的柱子,那么水的高度一定不会增加,且宽度一定减少,所以水的面积一定减少。这个时候,左边的柱子和任意一个其他柱子的组合,其实都可以排除了。也就是我们可以排除掉左边的柱子了。
这个排除掉左边柱子的操作,就是双指针代码里的 i++
。i 和 j
两个指针中间的区域都是还未排除掉的区域。随着不断的排除,i 和 j
都会往中间移动。当 i 和 j
相遇,算法就结束了。
双指针解法的原理
在这道题中,假设一共有 n
根柱子,编号 0,1,…,n−1
,高度分别为 H0,H1,…,Hn−1
。我们要寻找的是两根柱子 i,j
,它们需要满足的约束条件是:
i、j
都是合法的柱子下标,即0≤i<n,0≤j<n
i
在j
的左边,即i<j
而我们希望从中找到容纳水面积最大的柱子 (i,j)
,以 n=8
为例,这时候全部的搜索空间是:
由于 i、j
的约束条件的限制,搜索空间是白色的倒三角部分
。可以看到,搜索空间的大小是 O(n2)
数量级的。如果用暴力解法求解,一次只检查一个单元格,那么时间复杂度一定是 O(n2)
。要想得到 O(n)
的解法,我们就需要能够一次排除多个单元格。那么我们来看看,本题的双指针解法是如何削减搜索空间的:
一开始,我们检查右上方单元格 (0,7)
,即考虑最左边的 0 号柱子
和最右边的 7号柱子
,计算它们之间容纳水的面积。然后我们比较一下两根柱子的高度,关注其中较短的一根。
假设左边的 0
号柱子较短。根据刚才的推理,0 号柱子
目前的水面高度已经到了上限。由于 7号柱子
已经是离 0号柱子
最远的了,水的宽度也最大,如果换其他的柱子和 0 号柱子配对,水的宽度只会更小,高度也不会增加,容纳水的面积只会更小。也就是说,0
号柱子和 6,5,…,1
号柱子的配对都可以排除掉了。记录了 (0,7)
这组柱子的结果之后,就可以排除 0 号柱子了。这相当于 i=0 的情况全部被排除
。对应于双指针解法的代码,就是 i++;对应于搜索空间,就是削减了一行的搜索空间,如下图所示。
排除掉了搜索空间中的一行之后,我们再看剩余的搜索空间,仍然是倒三角形状。我们检查右上方的单元格 (1,7)
,即考虑 1号柱子
和 7 号柱子
,计算它们之间容纳水的面积。然后,比较两根柱子的高度。
假设此时 7号柱子较短
。同理, 7号柱子
已经是离 1 号柱子
最远的了,如果换其他的柱子和 1 号
柱子配对,水的宽度变小,高度也不会增加,容纳水的面积只会更小。也就是说,7号柱子
和 2,3,…,6
号柱子的配对都可以排除掉了。记录了 (1,7)
这组柱子的结果之后,就可以排除 7号柱子了。这相当于 j=7
的情况全部被排除。对应于双指针解法的代码,就是 j--
;对应于搜索空间,就是削减了一列的搜索空间,如下图所示。
可以看到,无论柱子 i
和 j
哪根更长,我们都可以排除掉一行或者一列的搜索空间。经过 n 步
以后,就能排除所有的搜索空间,检查完所有的可能性。
3、题解
int maxArea(vector<int>& height) {
int res = 0;
int i = 0;
int j = height.size() - 1;
while (i < j) {
int area = (j - i) * min(height[i], height[j]);
res = max(res, area);
if (height[i] < height[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
参考
https://leetcode-cn.com/problems/container-with-most-water/solution/on-shuang-zhi-zhen-jie-fa-li-jie-zheng-que-xing-tu/